高考數(shù)學一輪復習5-3等比數(shù)列及其前n項和(參考版)
2025-01-11 14:00本頁面
【正文】 2n － 2 ＝ 2. 因此??????????Sn＋54是以52為首項，公比為 2 的等比數(shù)列． ( 12 分 ) 關于等差 ( 比 ) 數(shù)列的基本運算，其實質就是解方程或方程組，需要認真計算，靈活處理已知條件．容易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面：一是計算出現(xiàn)失誤，特別是利用因式分解求解方程的根時，不注意對根的符號進行判斷；二是不能靈活運用等差 ( 比 ) 數(shù)列的基本性質轉化已知條件，導 致列出的方程或方程組較為復雜，增大運算量． 【試一試】 (1) 已知兩個等比數(shù)列 { an} ， { bn} ，滿足 a1＝ a ( a ＞0) ， b1－ a1＝ 1 ， b2－ a2＝ 2 ， b3－ a3＝ 3 ，若數(shù)列 { an} 唯一，求 a的值； (2) 是否存在兩個等比數(shù)列 { an} ， { bn} ，使得 b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3， b4－ a4成公差不為 0 的等差數(shù)列？若存在，求 { an} ， { bn}的通項公式；若不存在，說明理由． [ 嘗試解答 ] ( 1) 設 { an} 的公比為 q ，則 b1＝ 1 ＋ a ， b2＝ 2 ＋ aq ，b3＝ 3 ＋ aq2， 由 b1， b2， b3成等比數(shù)列得 (2 ＋ aq )2＝ (1 ＋ a )(3 ＋ aq2) ， 即 aq2－ 4 aq ＋ 3 a － 1 ＝ 0. 由 a ＞ 0 得， Δ ＝ 4 a2＋ 4 a ＞ 0 ，故方程有兩個不同的實根． 再由 { an} 唯一，知方程必有一根為 0 ，將 q ＝ 0 代入方程得 a ＝13. ( 2) 假設存在兩個等比數(shù)列 { an} ， { bn} 使 b1－ a1， b2－ a2， b3－a3， b4－ a4成公差不為 0 的等差數(shù)列． 設 { an} 的公比為 q1， { bn} 的公比為 q2， 則 b2－ a2＝ b1q2－ a1q1， b3－ a3＝ b1q22－ a1q21， b4－ a4＝ b1q32－ a1q31. 由 b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3， b4－ a4成等差數(shù)列得 ① q2－ ② 得 a1( q1－ q2)( q1－ 1)2＝ 0 ， 由 a1≠ 0 得 q1＝ q2或 q1＝ 1. ⅰ ) 當 q1＝ q2時，由 ①② 得 b1＝ a1或 q1＝ q2＝ 1 ， 這時 ( b2－ a2) － ( b1－ a1) ＝ 0 ，與公差不為 0 矛盾． ⅱ ) 當 q1＝ 1 時，由 ①② 得 b1＝ 0 或 q2＝ 1 ， 這時 ( b2－ a2) － ( b1－ a1) ＝ 0 ，與公差不為 0 矛盾． 綜上所述，不存在兩個等比數(shù)列 { an} ， { bn} 使 b1－ a1， b2－ a2，b3－ a3， b4－ a4成公差不為 0 的等差數(shù)列． 單擊此處進入 活頁限時訓練 。 2n － 2. 所以 S1＋54＝52，Sn ＋ 1＋54Sn＋54＝5 2n － 3. (6 分 ) ( 2) 證明 數(shù)列 { bn} 的前 n 項和 Sn＝54? 1 － 2n?1 － 2＝ 522， 解得 b 1 ＝54. 所以 { b n } 是以54為首項， 2 為公比的等比數(shù)列，其通項公式為 b n ＝54 湖北 ) 成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于 15 ，并且這三個數(shù)分別加上 2 、 5 、 13 后成為
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