極坐標(biāo)系下二重積分的計算(參考版)
2024-12-11 10:11本頁面
【正文】 1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee ??? ??????? ?例 6 計算 d x d yyxD)(22?? ?，其 D 為由圓 yyx 222 ?? ， yyx 422 ?? 及直線 yx 3? 0? ， 03 ?? xy 所圍成的平面閉區(qū)域 . 解： 32 ?? ??61?? ???s i n4?? r?s i n2?? rd x d yyxD)( 22?? ? ? ??? ?? ??? 36s i n4s i n22 r d rrd ).32(15 ???yyx 422 ??yyx 222 ??03 ?? yx03 ?? xy例 7 計算二重積分 ?????Ddxdyyxyx2222)s i n (, 其中積分區(qū)域為 }41|),{( 22 ???? yxyxD . 解： 由對稱性，可只考慮第一象限部分 ， 注意： 被積函數(shù)也要有對稱性 .?? ? ??Ddxdyyxyx2222 )s i n ( 4? ?????12222 )s i n (Dd x d yyxyx?? ??? ? 210 s i n4 2 r d rr rd .4??14 DD ?1D例 8 求曲線 )(2)( 222222 yxayx ??? 和 222 ayx ?? 所圍成的圖形的面積 . 解： 根據(jù)對稱性有 14 DD ?在極坐標(biāo)系下)(2)( 222222 yxayx ??? ,2c os2 ?ar ??,222 arayx ????1D由?????arar ?2c o s2, 得交點 )6,(?? aA , 所求面積 ???Dd x d y????14Dd x d y?? ?? ?? 2co s20 64 aa r d rd).33(2 ??? a 交換積分次序 : ).0(),(c o s022???? ??????adrrfdIa思考題 ,c o s022:??????????????arDo xy思考題解答 ?cosar ?Daara r c c o s???ara r c c o s??.),(a r cco sa r cco s0 ?? ?? arara drfdrI ??一、 填空題 :1 、 將??Dd x d yyxf ),( , D 為 xyx 222?? , 表示為極坐標(biāo)形式的二次積分 , 為 __ _ __ __ __ _ __ __ _ _ _ _ _ __ .2 、 將??Dd x d yyxf ),( , D 為 xy ??? 10 , 10 ?
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