【正文】 )1,3,6( 作業(yè)： P90919,13(1), 15 。 n維向量空間 ? 定義 . 設(shè) V 是 n 維向量的集合，如果 ① 集合 V 非空， ② 集合 V 對于向量的加法和乘數(shù)兩種運算封閉， ? 若 a ∈ V, b ∈ V，則 a + b ∈ V. （對加法封閉） ? 若 a ∈ V, l ∈ R，則 l a ∈ V .（對乘數(shù)封閉） 那么就稱集合 V 為 向量空間 ． ? 定義 . 設(shè)有向量空間 V ，如果在 V 中能選出 r 個向量 a1, a2, …, ar，滿足 ① a1, a2, …, ar 線性無關(guān)； ② V 中任意一個向量都能由 a1, a2, …, ar 線性表示； 那么稱向量組 a1, a2, …, ar 是向量空間 V 的一個 基 ．數(shù) r 稱為向量空間 V 的 維數(shù) ，并稱 V 為 r 維 向量空間． .)(AN?由齊次線性方程組解的兩個性質(zhì)可知， 的全體解向量所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組 的 解空間 ．一般記作 0=AX0=AX?解空間 N(A)的一個極大線性無關(guān)組，就是 AX=0的基礎(chǔ)解系 . 解空間 解空間的基 解空間的維數(shù) AX = 0 的解的集合 基礎(chǔ)解系 n ? R(A) 解向量組 解向量組的最大無關(guān)組 解向量組的秩 ?定義 . 設(shè) a1,a2,…, an是數(shù)域 F上線性空間 Vn的一組基 ,任取 a?Vn,則 a可由 a1,a2,…, an唯一地線性表示 ,即存在唯一的一組數(shù) x1,x2,…,x n?F,使得 ? ?12121, , , ,ni i ninxxxxa a a a a=??????= = ? ? ????????則稱有序數(shù)組 12( , , , )nx x x???為向量 a在基 12 na a a， ， ，下的坐標 . ( 3 , 2 , 1 ) Ta = ? ?1 1 , 0 , 0 T? = ? ?2 1,1, 0 T? =? ?3 1 , 1 , 1 T? =?例 : 在基 ， 以及 下的坐標。 ?非齊次線性方程組的通解的求法： （ 1）對系數(shù)矩陣 A的增廣矩陣 進行初等行變換，將其化為階梯陣， （ 2）分別求出系數(shù)矩陣、增廣矩陣的秩，若兩者 不等 則方程 無解 ；若兩者 相等 ，則把增廣矩陣化為 最簡形矩陣 ，就可以寫出其通解。 時， 時， ?下面總結(jié)一下求解非齊次線性方程組的方法。 ???+=++=.212,2143421xxxxx 即為： 原方程組的同解方程組為： ??????????????????+++=??????????????44242432121221xxxxxxxxx得到原方程組的通解： (k1,k2為任意常數(shù) ) ??????????????????+++=??????????????22121432121221kkkkkxxxx??????????????????+??????????????+??????????????=0210211201001121kk取 x2=k1,x4=k2， ??????????????????+++=??????????????44242432121221xxxxxxxxx令 k1=k2=0即得原方程組的一個特解： ??????????????????=021021*?1 2 31 2 31 2 321( 3 ) 4 2 2 321x x xx x xx x x+ =?? =?? + + =??解 ： （ 3）因為增廣矩陣 2 1 1 14 2 2 32 2 1 1A????=????1110220 0 1 00 0 0 1??????????初等 行變換 同解方程組為： 1 2 331 2 31102200 0 0 1x x xxx x x?+ + =??=?? + + =??? 因為 2=R(A) ≠ R(A, ?)=3 ，故方程無解。 ? 向量組 ak1,ak2,…,a kr,? 與向量組 a1,a2,… ,ar的秩相等 ? ( ) ( )R A R A=非齊次線性方程組 AX=?有解的充要條件是： 系數(shù)矩陣 A 的秩等于增廣矩陣的秩，即 ?定理 ( ) ( )R A R A=? ?可由 A的列向量組 ak1 ,ak2 ,… akr線性表出 ? 向量組 a1,a2,…,a n,? 與向量組 a1,a2,… ,an的秩相等 方程 AX=?有解 ?線性方程組的解的判定： 1. 包含 n 個 未知數(shù) 的齊次線性方程組 AX = 0 有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩 R(A) n ． 2. 包含 n 個 未知數(shù) 的非齊次線性方程組 AX = ? 有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩 R(A) = R(A, ?)，并且 ? 當 R(A) = R(A, ?) = n 時，方程組有唯一解； ? 當 R(A) = R(A, ?) n 時，方程組有無限多個解 ． ? 若方程的未知數(shù)的個數(shù) 等于 方程的個數(shù)，則 |A|≠0時，方程組有唯一解； |A|=0時， 當 R(A) = R(A, ?) 時，方程組有無限多個解 ， 當 R(A) ≠ R(A, ?) 時，方程無解。 為任意實數(shù)，kkxkxkxkx,22,4321?????????====????????????010101200021A,02020324131?????===+?xxxxxx 為自由未知量。 ?例 . 求齊次線性方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 2 0 ,2 2 2 0 ,4 3 0 .x x x xx x x xx x x x+ + + =??+ =?? =??解 : 對系數(shù)矩陣 A 施行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰尉仃嚕? 1 2 2 12 1 2 21 1 4 3A????= ?? ??1 2 2 10 3 6 40 3 6 4???? ?? ??的基礎(chǔ)解系 . 2r1+r2 r1+r3 3221 2 2 140 1 23( 3 )0 0 0 0rrr?? ???????? ????1251 0 23240 1 230 0 0 0rr???? ?????????????得與原方程組同解的方程組為： 1 2 2 10 3 6 40 3 6 4???? ?? ??1 3 42 3 4 34334452,342, ( , )3,x x xx x x xxxxxx?=+???= ??=??=?為 自 由 未 知 量即 ???????=++=03420352432431xxxxxx?系數(shù)矩陣的秩為 2，自由未知量的個數(shù)為 42. 1 3 42 3 4 34334452,342, ( , )3,x x xx x x xxxxxx?=+???= ??=??=?為 自 由 未 知 量任意一個解均可表示為 : ????????????????+=??????????????2121214321342532kkkkkkxxxx????????????????+??????????????=103453012221kk?稱齊次線性方程組的一組解 x 1, x 2,… , x s為該方程組的一個 基礎(chǔ)解系 ，若滿足 : （ 1） x 1, x 2, … , x s 線性無關(guān)； （ 2）該齊次線性方程組的任意一個解都可以由 x 1, x 2, … , x s線性表示． 通解為 : ????????????????+=??????????????2121214321342532kkkkkkxxxx????????????????+??????????????=103453012221kk從而 為一個基礎(chǔ)解系。 線性方程組的解的結(jié)構(gòu) ? 問題： 什么是線性方程組的解的結(jié)構(gòu)？ ? 所謂線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，就是當線性方程組有無限多個解時，解與解之間的相互關(guān)系． ? 當方程組存在唯一解時，無須討論解的結(jié)構(gòu)． 一、齊次線性方程組 AX=0 解的性質(zhì) １．解向量的概念 設(shè)有齊次線性方程組 ???????=+++=+++=+++000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???????????????若記 （ ） ,aaaaaaaaaAmnmmnn??????????