【正文】 波函數(shù)物理意義的統(tǒng)計(jì)解釋 : 波函數(shù)物理意義的數(shù)學(xué)表示： ?(x,y,z,t)d? =C2 |?(x,y,z,t)|2 d? 波函數(shù) ??與 ??=C?描寫(xiě)的是同一狀態(tài) (C為任意常數(shù)）。 ? ? ?? ??????0 12 2 )12(5312 aa ndxex nnaxn ??? ??? ??? dxexxU x 222222 2121 ????????????????????? ?????? 22222241212121221??41?解： (1) ? ????? dxxpxpT )(?)(2 12 2*2 ????? ??? ?? ?? dxedxde xx 2222 2122221 )(2 1 ????? ?? ??? ??? dxex x 22)1(2 2222 ?????? ?][2 2222 2222 ?? ???????? ?? dxexdxe xx ?? ????? ? (2) ]2[2 3222????????? ??? ? ???? ??????????? ???? 442222222??41? 1 / 21( ) ( )( 2 )i pxp x e d x?? ??? ? 21 2221? ?????? dxee Pxix ??????? ??? ??? dxee Pxix??2221 21 ????? ??? ???? dxepipx2222222)(21 21 ??? ??????? ??? ???? dxeeipxp 222222)(212 21 ?????????????? ? 221 2222 ??pe ?? 22221 ?????pe ??(3) 2222 1( ) ( )pp p e ??? ?? ??? 動(dòng)量幾率分布函數(shù)為 例題 8 為什么電子既不是經(jīng)典意義的波，也不是經(jīng)典意義的粒子？ 答：因?yàn)閱蝹€(gè)的電子具有波動(dòng)的性質(zhì)的，所以它不是經(jīng)典意義的波，同時(shí)對(duì)于經(jīng)典意義的粒子它的整體行為也不具有波動(dòng)性，而電子卻具有這個(gè)性質(zhì)，所以電子也不是經(jīng)典意義的粒子 ?????? ?0 ,0 0 ,)(xxAxex x當(dāng)當(dāng)??0??一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是 其中 ，求： (1)粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)； (2)粒子的平均動(dòng)量。其相對(duì)位置幾率分布函數(shù)為 表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。 處于 Ψ 態(tài)的體系，部分的處于 Ψ 1態(tài)，部分的處于 Ψ 2態(tài) ...，部分的處于 Ψ n， ... 一般情況下，如果 Ψ 1和 Ψ 2 是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加 Ψ= C 1Ψ 1 + C2Ψ 2 也是該體系的一個(gè)可能狀態(tài) .其中 C1 和 C2 是復(fù)常數(shù) 力學(xué)量的不確定性 12, n? ? ?體系可能態(tài) 在時(shí)間 t=0時(shí)，一粒子處于用下列歸一化的波函數(shù)所描述的狀態(tài)： )()(21)(51)0,( 3320 xcxxx ???? ???1）求 C3的值； 2)寫(xiě)出 t時(shí)刻的波函數(shù)； 3）在 t=0時(shí)的粒子能量的期望值為多少？ t=1時(shí)又如何？ ()n xn?其 中 為 第 個(gè) 與 時(shí) 間 無(wú) 關(guān) 的 能 量 本 征 函 數(shù) 。 態(tài)疊加原理一般表述： 若 Ψ 1 ， Ψ 2 ,..., Ψ n ,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 Ψ= C 1Ψ 1 + C2Ψ 2 + ...+ CnΨ n + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...為復(fù)常數(shù) )。 一個(gè)電子有 Ψ 1 和 Ψ 2 兩種可能的狀態(tài)， Ψ 是這兩種狀態(tài)的疊加。 考慮電子雙縫衍射 ? Ψ= C 1Ψ 1 + C2Ψ 2 也是電子的可能狀態(tài)。因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣， 量子力學(xué)中也存在波疊加原理 。 ? 微觀粒子具有波動(dòng)性，會(huì)產(chǎn)生衍射圖樣。 體系由 N個(gè)粒子組成（ N1） 體系能量為： 將能量公式變?yōu)樗惴?: )t,r,r(Vm/PEii ???212 2 ?? ?)t,r,r(Vm/tiiii ?????2122 2 ?????? ? 多粒子體系的 薛定諤方程 將算符公式同時(shí)作用在多粒子波函數(shù) Ψ(r1,r2,… ,t)上，這樣就得到多粒子的薛定諤方程 : )t,r,r()t,r,r(V)]t,r,r(m[)t,r,r(tii ii ??????????????2121212221 2 ????????? ?167。 （ 2）幾率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān) nnn tr ??? ?),( ??( , ) [ ]2n n n n niJ r t m ??? ? ? ? ? ? ? ?（ 1）粒子在空間幾率密度與時(shí)間無(wú)關(guān) )]/e x p ([)]/e x p ([ ?? tiEtiE nnnn ??? ? ??)/e x p ()/e x p ( ?? tiEtiE nnnn ?? ? ??)()( rr nn ?? ?? ??[ e xp( / ) e xp( / )2e xp( / ) e xp( / ) ]n n n nn n n ni iE t iE tmiE t iE t??????? ? ?? ? ?[ ( ) ( ) ( ) ( ) ]2 n n n ni r r r rm ? ? ? ???? ? ? ?)(rJ n ???處于定態(tài)下波函數(shù)的特征： ? 綜上所述，當(dāng) Ψ 滿足下列三個(gè)等價(jià)條件中的任何一個(gè)時(shí)， Ψ 就是定態(tài)波函數(shù)： ? 1. Ψ 描述的狀態(tài)其能量有確定的值； ? 2. Ψ 滿足定態(tài) Schrodinger方程； ? 3. |Ψ| 2 與 t無(wú)關(guān)。 （三）求解定態(tài)問(wèn)題的步驟 ? 討論定態(tài)問(wèn)題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)Ψ( r, t) 和在這些態(tài)中的能量 E。常量 E 稱為 算符 H 的 本征值 ； Ψ 稱為 算符 H 的 本征函數(shù) 。 數(shù)學(xué)物理方法中： 微分方程 + 邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題 ； ??? EH?2[]2 VEm? ? ? ? ? ?將 改寫(xiě)成 （ 2）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)物理 方法中的邊界條件，稱為 波函數(shù)的自然邊界條件 。這兩個(gè)算符都稱為 能量算符 。所以這兩個(gè)算符是完全相當(dāng)?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。dinger方程 ()E r?（ 1） Hamilton 算符 22( , ) [ ( ) ] ( , )2i r t V r r ttm? ? ? ? ? ? ??算符。 ? ? Eticetf ???)(( , ) ( )i EtEr t r e????定態(tài)有兩個(gè)含義： A. 波函數(shù)由空間部分函數(shù)與時(shí)間部分函數(shù)相乘 時(shí)間部分函數(shù)是確定的，為： B． E具有確定值 22[ ( ) ] ( ) ( )2 EEV r r E rm ??? ? ? ? 和具體問(wèn)題 應(yīng)滿足的邊界條件得出。也就是說(shuō)，此時(shí) 體系能量有確定的值 ， 所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù) Ψ(r,t) 稱為定態(tài)波函數(shù)。 此波函數(shù)與時(shí)間 t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率 ω=2πE/h 。 ),(2 tx?所以 解 (1)、 xx eAmkexxmij ??? ???????? 2** )(2?? ????所以 ),(1 tx?表示沿 x軸正方向傳播的平面波。 由下列兩個(gè)定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度 ， 1 ( , )i Eti k xx t A e e? ??2 ( , )i Etik xx t A e e? ???(1) (2) 從所得結(jié)果證明： 是沿 x軸正方向傳播的平面波； ),(1 tx?),(2 tx? 是沿 x軸反方向傳播的平面波。 概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)通常應(yīng)滿足 單值、有限、連續(xù) 三個(gè)條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。 （ 1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài) ? 式右含有 ψ 及其對(duì)坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域 τ是任意選取的，所以 S是任意閉合面。所以 波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù) 。 這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來(lái)實(shí)現(xiàn)這種變化。 令 Eq.（ 7） τ 趨于 ∞ ，即讓積分對(duì)全空間進(jìn)行，考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是 Eq.（ 7）變?yōu)椋? ?? ? 0),( ?? dtrdtd ?0?????? Jt ??其微分形式與流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形式相同 []2di ddd t m?? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????（ ）??? ?? dJdtrdtd ?? ???? ?? ),(的表面。粒子在 t 時(shí)刻 r 點(diǎn)周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是： 薛定諤方程 的討論 證明 ： ? 考慮 Schrodinger 方程及其共軛式： 2 2[ ] ( 5 )2iV