【正文】 2222222222( a r c t a n,),2(yxxyxyqyxyqσyxyyxlnqσxyyx????。 ],a r c t a n)l n (21[ 222 yxyxyyxqΦ ???? ?0?x第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 xoqyυ?第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 解 ：應(yīng)校核相容方程和邊界條件，若這些 量均滿足，則可以求出其應(yīng)力分量。 本題得出的應(yīng)力解答是 ??????????????????????。2232)(6)3(21,0,12)(12ybFqbbFqσybMxybFqbbFσxyyx?第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 例題 7 試用應(yīng)力函數(shù) 求解圖中所示的半無限平面體在 的邊界上受均布?jí)毫?q的問題。2hxxhσ y y MyMA D y M Db????? ? ? ? ??得/20/2b /232 b /2( ) d 1 ( ) ( b)4hx y xhyFFB y Cy F B Cbb? ????? ? ? ? ? ?? ，得 。 ,04 ?? Φ (2) 求應(yīng)力分量，在 無體力 下， 。 2 2 22223232 2 2232 ( 2 ) ,10( 1 3 4 ) ,2( 1 4 ) ( 3 ) .4 20xyxyx y l x yσqlh h hx y yσql h hq y l x h yh h lh l lh???? ? ????? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 讀者試校核在 x=l的小邊界上，下列條件是滿足的， .3d)(,0d)( 0d)(2/2/2/2/2/2/qlyyyσyσlxhhxylxhhxlxhhx??????????????，第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 例題 6 矩形截面的柱體受到頂部的集中力 和力矩 M的作用，不計(jì)體力，試用應(yīng)力函數(shù) 求解其應(yīng)力分量。lhqClhqB 4 ,5 3 ??第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 (4) 考察 小邊界 上的邊界條件 (x=0),由 ,6d)( 02/ 2/ qlyxh h xy ???? ?得 53.1 6 4 6h h q lB D F h? ? ? ?由式 (2)和 (6)解出 ).480(),1013( 3hllhqFlhhlqD????（ f） 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 另兩個(gè)積分的邊界條件， .0d)(,0d)(02/2/02/2/????????yyσyσxhhxxhhx顯然是滿足的。lqE 12??由 (3)(4)得 。0)4316 5()4153( 2422 ????? FDhBhBhCx第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 對(duì)于任意的 x值，上式均滿足，由此得 ,04153 2 ?? BhC。F x yExD x yyCxB x yyBxΦ ??????? 33353335第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 (2) 代入應(yīng)力公式，在無體力下，得 。 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 y x 6ql3qllxqo h/2 h/2 l )1,( ??? ?lh第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 解： 應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解： (1) 將 代入相容方程， Φ。代入 u,v,得到位移分量的解答 在頂點(diǎn) x=y=0， 0( ) .2xyFhvEb?? ?第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 例題 5 圖中矩形截面的簡(jiǎn)支梁上，作用有三角形分布荷載。0 ??????? xyyuxv ?兩邊分離變量，并全都等于 常數(shù)，即 212d ( ) d ( ) 3 ,d d 4f x f y F yx y E b?? ? ? ??第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 從上式分別積分，求出 20( ) ,f x x v???210 23()8Ff y y y uEb ?? ? ? 。0 ),231(2),231(2??????xyyxbxEbFbxEbF????第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 (5) 求位移分量， 3( 1 ) , 22xu F x xx E b b??? ? ? ??由 對(duì) 積分得3 ( 1 ) , 22yv F x yy E b b?? ? ? ? ??由 對(duì) 積分得213( ) ( ) 。得 得 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 上述應(yīng)力已滿足了 和全部邊界條件，因而是上述問題的解。 。 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 例題 4 圖中所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力 F和力矩 的作用，試用應(yīng)力函數(shù) 求解圖示問題的應(yīng)力及位移，設(shè)在 A點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角均為零。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 例題 3 已知 , )()。( ) d 0 , . ( h )8 0 4bxxbbxxbbx y xbσ y Fσ y y Ebby I g G????????????? ? ????得得得由式 (g),(h)解出 . 10 1 ,80 22 gbGgbI ?? ???第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 代入應(yīng)力分量的表達(dá)式得最后的應(yīng)力解答： 332 2 213332 323222 332 3 4 , 521 ( 2 ) 。221 , 42bB D g?? ? ?321 , 8 2 2bbA C g?? ? ?(c )(d )( c )+(d )得 得 得 得 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 由此得 22323, .2A g C gbb??? ? ?又有 . 04332 )()(0 )()(24??????IbGbAfeHfe得，得代入 A,得 223 . ( g)1 6 4bbI g G???第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 在 次要邊界 （小邊界） x=0上，列出三個(gè)積分的邊界條件： /20/2/20/22/202/2( ) d 0 , 0 。 ( a )8 4 2b b bx A B C D g x?? ? ? ? ?32( ) 0 。 Φ第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 4. 由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。dd d2 0 , 。)( yxfσ y ?第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 2. 按應(yīng)力函數(shù)的形式，由 推測(cè) 的形式， 2221312( ) , ( ) ( ) , 2( ) ( ) ( ) .6yΦσ x f yxΦx f y f yxxΦ f y x f y f y????????? ? ?yσΦ所以 第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 3. 由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。 因?yàn)樵? y=b/2邊界上， y=b/2 邊界上， ，所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi) 沿 x 向 也是一次式變化，即 。 1?2?y o x 2b2bg1?g2?第三章 平面問題的直