遼寧工業(yè)大學(xué)高數(shù)習(xí)題課(5)(參考版)
2024-10-20 02:04本頁面
【正文】 線積分與路徑無關(guān)的條 解：因為曲線積分 L P dx Q dy??與路徑無關(guān)，所以根據(jù)曲 PQyx?????，得 2[ ( 5 ( ) ( ) ) c o s ] [ ( 6 ( ) ) s i n ]xf x f x y x e f x yxy?? ?? ? ? ?可解得此二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為 即 2[ 5 ( ) ( ) ] c o s [ 6 ( ) ] c o sxf x f x y x e f x y? ??? ? ? ?亦即 2( ) 5 ( ) 6 ( ) xf x f x f x xe?? ?? ? ?2 3 212( ) ( 2 )2x x xxf x C e C e x e? ? ? ?再由 ( 0 ) 0 , ( 0 ) 1ff ???，可得特解 2 3 2( ) 2 2 ( 2 )2x x xxf x e e x e? ? ? ? ?分析：此等式中含有積分上限函數(shù)，因此想到利用積分 00( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxf x e xf x f t dt xf x e f t dt? ? ? ? ? ? ???【 例 11】 設(shè)函數(shù) ()fx 連續(xù)，且滿足 00( ) ( ) ( )xxxf x e t f t dt x f t dt? ? ???，求 ()fx上限函數(shù)的性質(zhì)，求導(dǎo)可建立微分方程，從而求解。 【 例 8】 求微分方程 c o sxy y e x?? ? ? ? 的通解 解：特征方程為 2 10r ?? ，其根為 1,2 ri??故齊次方程的通解為 12c os si nY C x C x??由于 ( ) c osxf x e x?? 根據(jù)特解結(jié)構(gòu)原理，此方程的自由項 ()fx 屬于混合型，令 12( ) , ( ) c o sxf x e f x x??由于 是 型 1() xf x e? () xmP x e?（其中 ） ( ) 1 , 1mPx ???1?? 不是特征方程根，故可設(shè) *1 xy Ae?所以 *112xye?，求 *1 ( ) xy Ae?? ?代入原方程 xy y e?? ?? 中，則有 *1( ) , xy Ae? ?2,xxA e e?1 2A?得 （其中 ( ) 1 , ( ) 0, 0, 1lnP x P x ??? ? ? ?） ,而 ii? ? ? ? ?是特征方程根，故可設(shè) *2 ( c o s s i n )y x B x C x??又因為 2 ( ) c osf x x?是 ( ( ) c o s ( ) s i n )x lne P x x P x x? ???型 求 *2( ) c o s s i n ( s i n c o s )y B x C x x B x C x? ? ? ? ? ?*2( ) 2 ( s i n c o s ) ( c o s s i n )y B x C x x B x C x?? ? ? ? ? ? ?代入方程 c o sy y x?? ?? 中 ,解得 10 , 2BC??，所以 *2 sin2xyx?于是原方程的通解為 **1 2 1 21c o s sin sin22x xy Y y y C x C x e x? ? ? ? ? ? ?【 例 9】 求微分方程 22 s i ny y y x?? ?? ? ? 的通解 解：特征方程為 2 2 1 0rr? ? ? ，其根為 1,2 1r
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