【正文】
f x e e x e? ? ? ? ?分析:此等式中含有積分上限函數(shù),因此想到利用積分 00( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxf x e xf x f t dt xf x e f t dt? ? ? ? ? ? ???【 例 11】 設(shè)函數(shù) ()fx 連續(xù),且滿足 00( ) ( ) ( )xxxf x e t f t dt x f t dt? ? ???,求 ()fx上限函數(shù)的性質(zhì),求導(dǎo)可建立微分方程,從而求解。 x解:由于不顯含 ()y p y? ? y pp?? ??x ,令 ,則 代入原方程整理得 2 0y pp p? ??所以 0p? 或 0yp p? ??當(dāng) 0yp p? ?? 時(shí),此方程為可分離變量的方程, 分離變量得: dp dypy??【 例 3】 求方程 2( ) 0y y y?? ??? 滿足初始條件 012xy ?? ?的特解。 解題方法流程圖 逐次積分 ),( yxfy ????解一階微分方程 解一階微分方程 ),( yyfy ????可降階的高階微分方程 )()( xfy n ?特點(diǎn) :不顯含 y轉(zhuǎn)化為一階方程 ),( pxfp ??特點(diǎn) :不顯含 x),( ncccxy ?21??通解 Yes No 令 )( xPy ?? 令 )( yPy ??轉(zhuǎn)化為一階方程 ),( Pyfpp ??4. 典型例題 【 例 1】 求方程 的通解。 解:因?yàn)? 212 xxy y e e?? ? ? ? 13, xy y e ???是對(duì)應(yīng)齊次方程 的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,可知特征方程有兩個(gè)根 122 , 1rr? ? ?,特征方程為 2 20rr? ? ?對(duì)應(yīng)齊次方程為: 20y y y?? ?? ? ?對(duì)應(yīng)齊次方程通解為: 212xxY C e C e???又因?yàn)? 2xxxe e? 是非齊次微分方程的特解,將其代入 2 ( )y y y f x?? ?? ? ? 有 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( 1 2 ) ( )x x x x x x xxe e xe e xe e x e f x?? ?? ? ? ? ? ? ? ?所求的方程為: 2 ( 1 2 )xy y y x e?? ?? ? ? ?通解為: 212x x xy Y y C e C e x e??? ? ? ? ?【 例 5】 求方程 3 2 5y y y?? ?? ? ?滿足初始條件 (0) 1y ? , (0) 2y? ?的特解。Y3)根據(jù)不同類型的自由項(xiàng) ()fx ,利用待定系數(shù)法求出 一個(gè)特解 *y4)寫出原方程的通解 。 39。 (3)若 1 1 2 2Y C y C y??是齊次方程的通解, *y 是非齊次方程的特解, 則 *Yy? 是非齊次方程的通解。 【 例 8】 求微分方程 c o sxy y e x?? ? ? ? 的通解 解:特征方程為 2 10r ?? ,其根為 1,2 ri??故齊次方程的通解為 12c os si nY C x C x??由于 ( ) c osxf x e x?? 根據(jù)特解結(jié)構(gòu)原理,此方程的自由項(xiàng) ()fx 屬于混合型,令 12( ) , ( ) c o sxf x e f x x??由于 是 型 1() xf x e? () xmP x e?(其中 ) ( ) 1 , 1mPx ???1?? 不是特征方程根,故可設(shè) *1 xy Ae?所以 *112x