遼寧工業(yè)大學(xué)高數(shù)習(xí)題課(2)(參考版)
2025-01-23 12:27本頁面
【正文】 (2)在計算三角函數(shù)有理式的不定積分時，關(guān)鍵是利用三角公式進(jìn)行恒等變形，并利用三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行換元或湊微。 解： 2 2 25 3 86 1 3 6 1 3 6 1 3x x d xI d xx x x x x x??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?2221 ( 6 1 3 ) 82 6 1 3 ( 3 ) 4d x x d xx x x????? ? ? ???2223()1 ( 6 13 )2432 6 13( ) 12xdd x xxxx???????????213ln ( 6 1 3 ) 4 a r c t a n22xx x C?? ? ? ? ?【 例 19】 求不定積分 s ins in c o sx dxxx??分析： (1)由于被積函數(shù)為三角函數(shù)有理式，所以首先 想到用萬能公式計算； s in t a ns in c o s 1 t a nxxx x x???tanux?(2)對被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形為： 進(jìn)行計算； 就可以用換元： 再利用 (3)把被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形為： s in 1 ( s in c o s ) ( s in c o s ) 1 s in c o s( 1 )s in c o s 2 s in c o s 2 s in c o sx x x x x x xx x x x x x? ? ? ?? ? ?? ? ?( c o s s in ) ( s in c o s )x x d x d x x? ? ?的關(guān)系進(jìn)行計算 . 解法 1： 令 tan2xu ? ，則 22 2 22 1 2s in , c o s ,1 1 1u u d ux x d xu u u?? ? ?? ? ?，于是 22s in 4s in c o s ( 1 ) ( 1 2 )x ud udxx x u u u?? ? ? ???22111 1 2uud u d uu u u????? ? ???222 2 21 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 )1 2 1 2 1 2d u d u uduu u u u? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?2211a r c t a n ln ( 1 ) ln 1 222u u u u C? ? ? ? ? ? ?1 ln s in c o s22x x x C? ? ? ?解法 2：由于被積函數(shù)可化為 tanx 的函數(shù)，可設(shè) tanux?則 21dudxu? ?，于是 2s in t a ns in c o s 1 t a n ( 1 ) ( 1 )x x u d ud x d xx x x u u??? ? ? ?? ? ?21 1 1 12 1 2 1u d u d uuu???????21 1 1a r c t a n ln ( 1 ) ln 12 4 2u u u C? ? ? ? ? ?1 ln s in c o s22x x x C? ? ? ?解法 3： 由于 s in 1 ( s in c o s ) ( s in c o s )s in c o s 2 s in c o sx x x x xx x x x? ? ????所以 s in 1 c o s s in( 1 )s in c o s 2 s in c o sx x xd x d xx x x x???????1 1 ( s in c o s )12 2 s in c o sd x xdxxx??????1 ( ln s in c o s )2 x x x C? ? ? ?注： (1)通過上面三種解法可看出，用萬能代換計算三角函數(shù)有理式的積分一定能解出，但計算復(fù)雜，所以不是最優(yōu)的。 【 例 15】 求不定積分 22( 1 2 ) xx e d x???分析： 本題中隱含著不能積分的積分項，但在積分 的過程中正
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