【正文】 (3) cond(A,inf) 計算 A的 ∞—范數(shù)下的條件數(shù)。 矩陣的條件數(shù) 在 MATLAB中，計算矩陣 A的 3種條件數(shù)的函數(shù)是： (1) cond(A,1) 計算 A的 1—范數(shù)下的條件數(shù)。 (3) norm(V,inf)：計算向量 V的 ∞—范數(shù)。 1．向量的 3種常用范數(shù)及其計算函數(shù) 在 MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為： (1) norm(V)或 norm(V,2)：計算向量 V的 2—范數(shù)。 向量和矩陣的范數(shù) 矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種意義下的長度。 2．矩陣的跡 矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。 [x1,x2,x3,x4] ?????????????????????????????612642233435821341122x 矩陣的秩與跡 1．矩陣的秩 矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。x3=det(D3)/DD。 x1=det(D1)/DD。 %用方程組的右端向量置換 D的第 3列 D4=[D(:,1:3),b]。 %用方程組的右端向量置換 D的第 1列 D2=[D(:,1:1),b,D(:,3:4)]。6]。6。3,3,2,2]。4,3,1,2。 例 212 用克萊姆 (Cramer)方法求解線性方程組。 方陣的行列式 把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式的規(guī)則求值，這個值就稱為矩陣所對應(yīng)的行列式的值。B=B 此時稱矩陣 B為矩陣 A的 偽逆，也稱為廣義逆矩陣 。A=A B 其解為： x=A1b 2．矩陣的偽逆 如果矩陣 A不是一個方陣，或者 A是一個非滿秩的方陣時，矩陣 A沒有逆矩陣，但可以找到一個與 A的轉(zhuǎn)置矩陣 A?同型的矩陣 B，使得： A求方陣 A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù) inv(A)。A=I (I為單位矩陣 ) 則稱 B為 A的逆矩陣，當(dāng)然， A也是 B的逆矩陣。 矩陣的逆與偽逆 1．矩陣的逆 對于一個方陣 A，如果存在一個與其同階的方陣 B，使得： A MATLAB對矩陣 A實施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是 fliplr(A)。的 k倍，當(dāng) k為 1時可省略。 矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn) 1．矩陣的轉(zhuǎn)置 轉(zhuǎn)置運算符是單撇號 (?)。例如，提取矩陣 A的第 2條對角線以上的元素，形成新的矩陣B。 (1) 上三角矩陣 求矩陣 A的上三角陣的 MATLAB函數(shù)是 triu(A)。 D=diag(1:5)。10,12,19,21,3。23,5,7,14,16。 例 210 先建立 5 5矩陣 A，然后將 A的第一行元素乘以 1，第二行乘以 2， … ，第五行乘以 5。 (2) 構(gòu)造對角矩陣 設(shè) V為具有 m個元素的向量， diag(V)將產(chǎn)生一個m m對角矩陣，其主對角線元素即為向量 V的元素。 (1) 提取矩陣的對角線元素 設(shè) A為 m n矩陣， diag(A)函數(shù)用于提取矩陣 A主對角線元素，產(chǎn)生一個具有 min(m,n)個元素的列向量。56,0,67,45,0] (2) 找出大于 4的元素的位置。 (1) 建立矩陣 A。 (6) 在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運算中，算術(shù)運算優(yōu)先級最高，邏輯運算優(yōu)先級最低。最終運算結(jié)果是一個與矩陣同維的矩陣，其元素由 1或 0組成。最終運算結(jié)果是一個與原矩陣同維的矩陣，其元素由 1或 0組成。 ～ a 當(dāng) a是零時，運算結(jié)果為 1；當(dāng) a非零時，運算結(jié)果為 0。b a,b全為非零時，運算結(jié)果為 1，否則為 0。 邏輯運算的運算法則為： (1) 在邏輯運算中，確認非零元素為真，用 1表示，零元素為假，用 0表示。 邏輯運算 MATLAB提供了 3種邏輯運算符： amp。 P=rem(A,3)==0 其中， rem(A,3)是矩陣 A的每個元素除以 3的余數(shù)矩陣。 (1) 生成 5階隨機方陣 A。最終的關(guān)系運算的結(jié)果是一個維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由 0或1組成。最終的關(guān)系運算的結(jié)果是一個維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由 0或1組成。若關(guān)系成立，關(guān)系表達式結(jié)果為 1，否則為 0。它們的含義不難理解，但要注意其書寫方法與數(shù)學(xué)中的不等式符號不盡相同。兩矩陣進行點運算是指它們的對應(yīng)元素進行相關(guān)運算，要求兩矩陣的維參數(shù)相同。 2．點運算 在 MATLAB中，有一種特殊的運算，因為其運算符是在有關(guān)算術(shù)運算符前面加點，所以叫點運算。對于矩陣運算，一般A\B≠B/A。又如，設(shè)a=[,25]，則 a/5=5\a=[ ]。 A\B等效于 A的逆左乘 B矩陣，也就是 inv(A)*B，而 B/A等效于 A矩陣的逆右乘 B矩陣，也就是 B*inv(A)。 (3) 矩陣除法 在 MATLAB中，有兩種矩陣除法運算： \和 /，分別表示左除和右除。如果 A與 B的維數(shù)不相同，則 MATLAB將給出錯誤信息，提示用戶兩個矩陣的維數(shù)不匹配。 (1) 矩陣加減運算 假定有兩個矩陣 A和 B，則可以由 A+B和AB實現(xiàn)矩陣的加減運算。 MATLAB運算 1．基本算術(shù)運算 MATLAB的基本算術(shù)運算有：＋ (加 )、－ (減 )、 *(乘 )、 /(右除 )、 \(左除 )、 ^(乘方 )。 nyx )( ?例 27 求 (x+y)5的展開式。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡 (Pascal)矩陣。例如，為了求多項式的 x37x+6的伴隨矩陣，可使用命令： p=[1,0,7,6]。 toeplitz(x)用向量 x生成一個對稱的托普利茲矩陣。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是 toeplitz(x,y)，它生成一個以 x為第一列， y為第一行的托普利茲矩陣。 例 26 求 4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。 使用一般方法求逆會因為原始數(shù)據(jù)的微小擾動而產(chǎn)生不可靠的計算結(jié)果。5])即可得到上述范得蒙矩陣。2。在MATLAB中，函數(shù) vander(V)生成以向量 V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。 M=100+magic(5) (2) 范得蒙矩陣 范得蒙 (Vandermonde)矩陣最后一列全為 1，倒數(shù)第二列為一個指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點乘積。 MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個 n階魔方陣。 2．用于專門學(xué)科的特殊矩陣 (1) 魔方矩陣 魔方矩陣有一個有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。 (2) 均值為 、方差為 5階正態(tài)分布隨機矩陣。4 5 6]。 zeros(3,2) (3) 設(shè) A為 2 3矩陣，則可以用 zeros(size(A))建立一個與矩陣 A同樣大小零矩陣。 (1) 建立一個 3 3零矩陣。 randn：產(chǎn)生均值為 0，方差為 1的標準正態(tài)分布隨機矩陣。 eye：產(chǎn)生單位矩陣。 特殊矩陣 1．通用的特殊矩陣 常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有： zeros：產(chǎn)生全 0矩陣 (零矩陣 )。給變量 X賦空矩陣的語句為 X=[ ]。 end表示某一維的末尾元素下標。 ② A(i:i+m,:)表示取 A矩陣第 i～ i+m行的全部元素； A(:,k:k+m)表示取 A矩陣第 k～ k+m列的全部元素， A(i:i+m,k:k+m)表示取 A矩陣第 i～ i+m行內(nèi)，并在第 k～ k+m列中的所有元素。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系也可利用 sub2ind和 ind2sub函數(shù)求得。4,5,6]。在 MATLAB中，矩陣元素 按列存儲 ，先第一列，再第二列，依次類推。 矩陣的拆分 1．矩陣元素 通過下標引用矩陣的元素，例如 A(3,2)=200 采用矩陣元素的序號來引用矩陣元素。 顯然， linspace(a,b,n)與 a:(ba)/(n1):b等價。 （ e1， e2， e3均可以為正數(shù)、負數(shù)、小數(shù) ） 在 MATLAB中，還可以用 linspace函數(shù)產(chǎn)生行向量。 (3) 在 MATLAB命令窗口中輸入 mymatrix，即運行該 M文件，就會自動建立一個名為MYMAT的矩陣，可供以后使用。 例 22 利用 M文件建立 MYMAT矩陣。（ 易檢驗對齊與否 ） 3．利用 M文件建立矩陣 對于比較大且比較復(fù)雜的矩陣，可以為它專門建立一個 M文件。 小括號與中括號的區(qū)別： 1）小括號用于函數(shù)的輸入，中括號用于矩陣的輸入及函數(shù)的輸出； 2）數(shù)學(xué)運算優(yōu)先級的限定都使用小括號。具體方法如下：將矩陣的元素用 方括號 括起來，按矩陣行的順序輸入各元素， 同一行的各元素之間用空格或逗號分隔，不同行的元素之間用分號分隔。數(shù)據(jù)輸出時用戶可以用 format命令設(shè)置或改變數(shù)據(jù)輸出格式。 向零取整 向下取整 向上取整 四舍五入取整 數(shù)據(jù)的輸出格式 MATLAB用十進制數(shù)表示一個常數(shù)，具體可采用日常記數(shù)法和科學(xué)記數(shù)法兩種表示方法。 (4) rem與 mod函數(shù)的區(qū)別。 (2) abs函數(shù)可以求實數(shù)的絕對值、復(fù)數(shù)的模、字符串的 ASCII碼值。 MATLAB常用數(shù)學(xué)函數(shù) MATLAB提供了許多數(shù)學(xué)函數(shù)，函數(shù)的自變量規(guī)定為矩陣變量，運算法則是將函數(shù)逐項作用于矩陣的元素上，因而運算的結(jié)果是一個與自變量同維數(shù)的矩陣。ascii選項使文件以 ASCII格式處理，省略該選項時文件將以二進制格式處理。變量名表中的變量個數(shù)不限，只要內(nèi)存或文件中存在即可， 變量名之間以空格分隔 。 MAT文件的生成和裝入由save和 load命令來完成。 who命令只顯示出駐留變量的名稱，whos在給出變量名的同時，還給出它們的大小、所占字節(jié)數(shù)及數(shù)據(jù)類型等信息。 clear命令用于刪除 MATLAB工作空間中的變量。當(dāng)選中某些變