【正文】 而 B/A等效于 A矩陣的逆右乘 B矩陣，也就是 B*inv(A)。 對于含有標量的運算，兩種除法運算的結果相同，如 3/4和 4\3有相同的值，都等于 。又如，設a=[,25]，則 a/5=5\a=[ ]。對于矩陣來說， 左除和右除表示兩種不同的除數矩陣和被除數矩陣的關系 。對于矩陣運算，一般A\B≠B/A。 (4) 矩陣的乘方 一個矩陣的乘方運算可以表示成 A^x，要求 A為方陣， x為標量。 2．點運算 在 MATLAB中，有一種特殊的運算，因為其運算符是在有關算術運算符前面加點，所以叫點運算。點運算符有 .*、 ./、 .\和 .^。兩矩陣進行點運算是指它們的對應元素進行相關運算，要求兩矩陣的維參數相同。 關系運算 MATLAB提供了 6種關系運算符： (小于 )、 =(小于或等于 )、 (大于 )、 =(大于或等于 )、 ==(等于 )、～ =(不等于 )。它們的含義不難理解，但要注意其書寫方法與數學中的不等式符號不盡相同。 關系運算符的運算法則為： (1) 當兩個比較量是標量時，直接比較兩數的大小。若關系成立，關系表達式結果為 1，否則為 0。 (2) 當參與比較的量是兩個維數相同的矩陣時，比較是對兩矩陣相同位置的元素按標量關系運算規(guī)則逐個進行，并給出元素比較結果。最終的關系運算的結果是一個維數與原矩陣相同的矩陣，它的元素由 0或1組成。 (3) 當參與比較的一個是標量，而另一個是矩陣時，則把標量與矩陣的每一個元素按標量關系運算規(guī)則逐個比較，并給出元素比較結果。最終的關系運算的結果是一個維數與原矩陣相同的矩陣，它的元素由 0或1組成。 例 28 產生 5階隨機方陣 A，其元素為 [10,90]區(qū)間的隨機整數，然后判斷 A的元素是否能被 3整除。 (1) 生成 5階隨機方陣 A。 A=fix((9010+1)*rand(5)+10) (2) 判斷 A的元素是否可以被 3整除。 P=rem(A,3)==0 其中， rem(A,3)是矩陣 A的每個元素除以 3的余數矩陣。此時， 0被擴展為與 A同維數的零矩陣， P是進行等于 (==)比較的結果矩陣。 邏輯運算 MATLAB提供了 3種邏輯運算符： amp。(與 )、 |(或 )和～ (非 )。 邏輯運算的運算法則為： (1) 在邏輯運算中，確認非零元素為真，用 1表示，零元素為假，用 0表示。 (2) 設參與邏輯運算的是兩個標量 a和 b，那么， aamp。b a,b全為非零時，運算結果為 1，否則為 0。 a|b a,b中只要有一個非零，運算結果為 1。 ～ a 當 a是零時，運算結果為 1；當 a非零時，運算結果為 0。 (3) 若參與邏輯運算的是兩個同維矩陣，那么運算將對矩陣相同位置上的元素按標量規(guī)則逐個進行。最終運算結果是一個與原矩陣同維的矩陣，其元素由 1或 0組成。 (4) 若參與邏輯運算的一個是標量，一個是矩陣，那么運算將在標量與矩陣中的每個元素之間按標量規(guī)則逐個進行。最終運算結果是一個與矩陣同維的矩陣，其元素由 1或 0組成。 (5) 邏輯非是單目運算符，也服從矩陣運算規(guī)則。 (6) 在算術、關系、邏輯運算中，算術運算優(yōu)先級最高，邏輯運算優(yōu)先級最低。 例 29 建立矩陣 A，然后找出大于 4的元素的位置。 (1) 建立矩陣 A。 A=[4,65,54,0,6。56,0,67,45,0] (2) 找出大于 4的元素的位置。 find(A4) 矩陣分析 對角陣與三角陣 1．對角陣 只有對角線上有非 0元素的矩陣稱為對角矩陣，對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣，對角線上的元素都為 1的對角矩陣稱為單位矩陣。 (1) 提取矩陣的對角線元素 設 A為 m n矩陣， diag(A)函數用于提取矩陣 A主對角線元素，產生一個具有 min(m,n)個元素的列向量。 diag(A)函數還有一種形式 diag(A,k)，其功能是提取第 k條對角線的元素。 (2) 構造對角矩陣 設 V為具有 m個元素的向量， diag(V)將產生一個m m對角矩陣，其主對角線元素即為向量 V的元素。 diag(V)函數也有另一種形式 diag(V,k)，其功能是產生一個 n n(n=m+)對角陣，其第 k條對角線的元素即為向量 V的元素。 例 210 先建立 5 5矩陣 A，然后將 A的第一行元素乘以 1，第二行乘以 2， … ，第五行乘以 5。 A=[17,0,1,0,15。23,5,7,14,16。4,0,13,0,22。10,12,19,21,3。... 11,18,25,2,19]。 D=diag(1:5)。 D*A %用 D左乘 A，對 A的每行乘以一個指定常數 2．三角陣 三角陣又進一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對角線以下的元素全為 0的一種矩陣，而下三角陣則是對角線以上的元素全為 0的一種矩陣。 (1) 上三角矩陣 求矩陣 A的上三角陣的 MATLAB函數是 triu(A)。 triu(A)函數也有另一種形式 triu(A,k)，其功能是求矩陣 A的第 k條對角線以上的元素。例如，提取矩陣 A的第 2條對角線以上的元素，形成新的矩陣B。 (2) 下三角矩陣 在 MATLAB中，提取矩陣 A的下三角矩陣的函數是 tril(A)和 tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數 triu(A)和 triu(A,k)完全相同。 矩陣的轉置與旋轉 1．矩陣的轉置 轉置運算符是單撇號 (?)。 2．矩陣的旋轉 利用函數 rot90(A,k)將矩陣 A逆時針 旋轉 90186。的 k倍，當 k為 1時可省略。 3．矩陣的左右翻轉 對矩陣實施左右翻轉是將原矩陣的第一列和最后一列調換，第二列和倒數第二列調換， … ，依次類推。 MATLAB對矩陣 A實施左右翻轉的函數是 fliplr(A)。 4．矩陣的上下翻轉 MATLAB對矩陣 A實施上下翻轉的函數是flipud(A)。 矩陣的逆與偽逆 1．矩陣的逆 對于一個方陣 A，如果存在一個與其同階的方陣 B，使得： AB=BA=I (I為單位矩陣 ) 則稱 B為 A的逆矩陣，當然， A也是 B的逆矩陣。 求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯，但在 MATLAB中，求一個矩陣的逆非常容易。求方陣 A的逆矩陣可調用函數 inv(A)。 例 211 用求逆矩陣的方法解線性方程組 Ax=b 。 其解為： x=A1b 2．矩陣的偽逆 如果矩陣 A不是一個方陣，或者 A是一個非滿秩的方陣時，矩陣 A沒有逆矩陣，但可以找到一個與 A的轉置矩陣 A?同型的矩陣 B，使得： ABA=A BAB=B 此時稱矩陣 B為矩陣 A的 偽逆，也稱為廣義逆矩陣 。在 MATLAB中，求一個矩陣偽逆的函數是pinv(A)。 方陣的行列式 把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式的規(guī)則求值，這個值就稱為矩陣所對應的行列式的值。在 MATLAB中，求方陣A所對應的行列式的值的函數是 det(A)。 例 212 用克萊姆 (Cramer)方法求解線性方程組。 程序如下： D=[2,2,1,1。4,3,1,2。8,5,3,4。3,3,2,2]。 %定義系數矩陣 b=[4。6。12。6]。 %定義常數項向量 D1=[b,D(:,2:4)]。 %用方程組的右端向量置換 D的第 1列 D2=[D(:,1:1),b,D(:,3:4)]。 %用方程組的右端向量置換 D的第 2列 D3=[D(:,1:2),b,D(:,4:4)]。 %用方程組的右端向量置換 D的第 3列 D4=[D(:,1:3),b]。 %用方程組的右端向量置換 D的第 4列 DD=det(D)。 x1=det(D1)/DD。x2=det(D2)/DD。x3=det(D3)/DD。x4=det(D4)/DD。 [x1,x2,x3,x4] ?????????????????????????????612642233435821341122x 矩陣的秩與跡 1．矩陣的秩 矩陣線性無關的行數與列數稱為矩陣的秩。在 MATLAB中，求矩陣秩的函數是 rank(A)。 2．矩陣的跡 矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在 MATLAB中，求矩陣的跡的函數是 trace(A)。 向量和矩陣的范數 矩陣或向量的范數用來度量矩陣或向量在某種意義下的長度。范數有多種方法定義，其定義不同，范數值也就不同。 1．向量的 3種常用范數及其計算函數 在 MATLAB中，求向量范數的函數為： (1) norm(V)或 norm(V,2)：計算向量 V的 2—范數。 (2) norm(V,1)：計算向量 V的 1—范數。 (3) norm(V,inf)：計算向量 V的 ∞—范數。 2． 矩陣的范數及其計算函數 MATLAB提供了求 3種矩陣范數的函數，其函數調用格式與求向量的范數的函數完全相同。 矩陣的條件數 在 MATLAB中，計算矩陣 A的 3種條件數的函數是： (1) cond(A,1) 計算 A的 1—范數下的條件數。 (2) cond(A)或 cond(A,2) 計算 A的 2—范數數下的條件數。 (3) cond(A,inf) 計算 A的 ∞—范數下的條件數。