【正文】 * 。這些指標(biāo)我們已經(jīng)在前面告訴大家了（計(jì)算過程從略）。 在這個(gè)系統(tǒng)中 , ???????knknn ,01, . . .2,1,0,??knn , . . . ,2,1, ?? ??167。 * 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 76 同時(shí)也可計(jì)算出此系統(tǒng)的其他性能指標(biāo) : 2 3 2 3 40012321 1 1( 1 )( 1 ) ( 2 3 .. .) ( 2 3 .. .).. . , 0 11:( 1 )1()nsnnsq n n n sn n nL n P nLL n P n P P LW? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??????? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ?q在 系 統(tǒng) 中 的 平 均 顧 客 數(shù) ：或(2) 排 隊(duì) 平 均 顧 客 數(shù) L關(guān) 于 顧 客 在 系 統(tǒng) 中 逗 留 時(shí) 間 隨 即 變 量 在 M/M/1 情 況 下 ， 他 服 從 參 數(shù) 為 ()()( ) 1 , 0( ) ( )wwF w e wf w e???????????? ? ???的 負(fù) 指 數(shù) 分 布 ， 即 ：分 布 函 數(shù)概 率 密 度于 是 得 ：167。我們以 M/M/1系統(tǒng)為例進(jìn)行推導(dǎo)。 * 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 75 M/M/C和 M/M/C/K排隊(duì)系統(tǒng)，顧客到達(dá)間隔服從 參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，顧客在系統(tǒng)中服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，并滿足生滅過程的其他條件。 ? ? 0()tNt?n?n?管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 73 2. 生滅過程穩(wěn)態(tài)方程 ???????????? 1,)(11110011npppppnnnnnnn ??????????????????????? 11010101nPPPnnn ??????方程為： 由此可求得生滅過程的平穩(wěn)狀態(tài)分布： 10????n nP 110 ??????????? nPPP10101012010100 ?????????????? ? PPPXPnn?????????11 0010 1???????????????????? ?n nnP????由于 即有 即有 即有 167。在這樣的排隊(duì)系統(tǒng)中， 一個(gè)新顧客的到達(dá)看作“生”，一個(gè)顧客服務(wù)完之后離開系統(tǒng)看作是 “死”，設(shè) N(t)的任意時(shí)刻 t排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)（即排隊(duì)子系統(tǒng)中的總顧客 數(shù)），則對 M/M/C/K系統(tǒng) N(t)具有有限個(gè)狀態(tài) 0， 1， ?,k, 對 M/M/C來說 N(t)具有可列個(gè)狀態(tài) 0， 1， 2? 。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 72 167。維修每臺機(jī)器平均需要 20分鐘，試求該系統(tǒng)的各項(xiàng) 性能指數(shù)。假設(shè)待修機(jī)器按泊松分布過程到達(dá)此中 心。 167。 多服務(wù)臺泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間、系統(tǒng)容量有限制的排隊(duì)模型 這種排隊(duì)模型我們記為 M/M/C/K/∞ ，這與第九節(jié)單服務(wù)臺模型的 區(qū)別，就在于服務(wù)臺的數(shù)量為 C，我們可以把這個(gè)模型簡記為 M/M/C/K。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 68 111)1(1 ??????? KKsKL????)( )14( 55人?????)()(1)1(1541人?????????????KKqKL?????)(6 9 小時(shí)???essLw?)( 小時(shí)???eqqLw?系統(tǒng)里平均顧客數(shù) = 平均的排隊(duì)顧客數(shù) 平均逗留時(shí)間 平均排隊(duì)時(shí)間 167。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 67 例 5 某理發(fā)店只有一個(gè)理發(fā)師，且店里最多可容納 4名顧客，設(shè)顧客按泊松流到達(dá)，平均每小時(shí) 5人，理發(fā)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每 15分鐘可為 1名顧客理發(fā)，試求該系統(tǒng)的有關(guān)指標(biāo)。 這個(gè)模型可簡寫為 M/M/1/K。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 65 167。 Ls= Wq= 。其中， m=5, ?=1/15, ?=1/12,?/ ?=。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 64 例 4. 某車間有 5臺機(jī)器，每臺機(jī)器連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間為 15分鐘，有一個(gè)修理工，每次修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每次 12分鐘，求該排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo) P0,Lq,Ls,Wq,Ws,以及 P5。 當(dāng) c=4時(shí)， 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 62 M / M / 1 / ∞ / m ?條件：單位時(shí)間顧客平均到達(dá)數(shù) ? 單位平均服務(wù)顧客數(shù) ? ?關(guān)心的項(xiàng)目 : 1. 系統(tǒng)中無顧客的概率 P0 2. 系統(tǒng)中平均排隊(duì)的顧客數(shù) Lq 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls 4. 系統(tǒng)中顧客平均的排隊(duì)等待時(shí)間 Wq 5. 系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間 Ws 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率 Pw 7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率 Pn 167。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 61 ???40444!4/)/(!4/)/(ip???? 9 5 0 9 5 24/)8/16(6/)8/16(2/)8/16(1/)8/16(1/)8/16(24/)8/16(432104???????)0 9 5 (8/16)1(/ 4 ????? ? pL s ??167。 解：這是一個(gè) M / G / C / C / ∞模型。 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率 ???eiinninp0!/)/(!/)/(????167。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 59 M / G / C / C / ∞ 注：不存在平均排隊(duì)的顧客數(shù) Lq 和顧客平均的排隊(duì)等待時(shí)間 Wq。 解： 這是一個(gè) M / D / 1 排隊(duì)模型，其中 ? = 6輛 /小時(shí)， ? = 60/6 =10輛 /小時(shí) ，得： P0 =1? ? /? = , Lq =, Ls = Lq + ? /? = , Wq = Lq / ? = ， Ws = Wq+ 1/? =, Pw = ? /? = 。 單服務(wù)臺泊松到達(dá)、定長服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型 M / D / 1 / ∞ / ∞ 注：它是 M / G / 1 / ∞ / ∞ 的特殊情況 ? = 0。 167。= 人 /分鐘， ?=。試求這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)。 數(shù)量指標(biāo)公式 : 1. 系統(tǒng)中無顧客的概率 P0=1? ? /? 2. 平均排隊(duì)的顧客數(shù) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + ? /? 4. 顧客花在排隊(duì)上的平均等待時(shí)間 Wq = Lq / ? 5. 在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間 Ws = Wq+ 1/? 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率 Pw = ? /? 7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率 Pn )/1(2)/( 222?????????qL167。 在前兩例中，設(shè)儲蓄所的每個(gè)服務(wù)臺的費(fèi)用 cs=18，顧客在儲蓄所中逗留一小時(shí)的成本 cw =10。 TC = cw Ls + cs C 其中： 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 54 這樣，對儲蓄所 M / M / 1 模型可知 Ls =3， C=1，得 TC = cw Ls + cs C=48 元 /每小時(shí)。即： 167。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 52 , ( 1 4 .5 ), ( 1 4 .6 )1, ( 1 4 .7 )sqqqsqLLLWWW?????????? ?1 NP? ?多臺泊松 這里 Ls， Lq， Ws， μ的定義如上所述，而 λ應(yīng)為實(shí)際進(jìn)入系統(tǒng)平均到達(dá)率，對于排隊(duì)長度有限制的模型，我們設(shè)因排隊(duì)長度的限制顧客被拒絕的概率為 PN，則實(shí)際進(jìn)入系統(tǒng)平均到達(dá)率應(yīng)為： λ（ 1PN) 這時(shí)，原來公式中的 λ 應(yīng)改為 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 53 評價(jià)排隊(duì)系統(tǒng)不能只看服務(wù)效率，還要比較成本效益，因此理應(yīng)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析。如果把 M / M / 2與原先一個(gè) M / M / 1比較，那么服務(wù)水平之間的差別就更大了。管理運(yùn)籌學(xué)軟件有排隊(duì)論的程序，可以由它來計(jì)算。 平均到達(dá)率 : ? = 36/60 = ， 二、例題計(jì)算分析 將 C、 ? 、 ?代入特征函數(shù)公式并進(jìn)行計(jì)算結(jié)果如下所示 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 51 多臺泊松 我們在第二節(jié)與第三節(jié)發(fā)現(xiàn)公式有三個(gè)公式是完全相同的，實(shí)際上這三個(gè)公式表示了任一個(gè)排隊(duì)模型（不僅僅是 M/M/1或 M/M/2）中， Ls，Lq， Ws， Wq之間的關(guān)系，也就是說：對任一個(gè)排隊(duì)模型成立。試求這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)。 多臺泊松 在前例的儲蓄所里多設(shè)一個(gè)服務(wù)窗口，即儲蓄所開設(shè)兩個(gè)服務(wù)窗口。 一、模型特征函數(shù)公式 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 48 4. 顧客花在排隊(duì)上的平均等待時(shí)間 Wq = Lq / ? , 02)()!1()/( PccLcq ?????????2. 平均排隊(duì)的顧客數(shù) :Lq 多臺泊松 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + ? /? , 5. 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間 Ws = Wq+ 1/? , 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 49 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率 0)()(!1 pcccpcw ???????0!)/( pnpnn??? 當(dāng) n≤ c時(shí) 0)(!)/( pccp nn ????當(dāng) nc時(shí) 多臺泊松 7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 50 P0 =, Lq = (個(gè) 顧客 ), Ls = Lq + ? /? = (個(gè) 顧客 ), Wq = Lq / ? = （分鐘） , Ws = Wq+ 1/? = （分鐘） , Pw = (必須排隊(duì)等待的概率）， 系統(tǒng)中有 1到 5個(gè)顧客的概率： P1 = , P2 = , P3 = , P4 = , P5 = 。 ??? ??????????? 111WsWq )WqLq( ??等待時(shí)間 考慮 LS與 WS的關(guān)系 單臺泊松 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 45 ?????LsLsLLq s ????? ?????????? 12WsLs ??WqLq ?? 四個(gè)指標(biāo)的關(guān)系為 (Little 公式 ) 3. 系統(tǒng)的忙期與閑期 系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率： ??? 10P