33b樣條曲線與曲面(參考版)
2024-10-04 10:32本頁面
【正文】 ? NURBS曲面的性質(zhì) 與非有理 B樣條基函數(shù)相類似的性質(zhì)： – 局部支承性質(zhì) – 權(quán)性 0, 0000 ?mnnm ???? 0?ij?),(,。,0 0,0 0,??? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?vuvuRPvNuNvNuNPvuPminjqjpiijqjminjpiijqjminjpiijij??? ?? ??mrnsqsprrsqjpiijqjpivNuNvNuNvuR0 0,。 ? 該方法可推廣到其他幾何約束及曲面。我們對(duì)以上每個(gè)點(diǎn)，給一個(gè)擾動(dòng)量 ，并用約束優(yōu)化方法求之。 i?*???????????? ))((1 ,*dSPtRdikii??清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) ? 基于幾何約束的形狀修改 – 問題的提法：求新的控制頂點(diǎn)，使曲線上的 點(diǎn) S變到 T。 ? 修改權(quán)因子 – 當(dāng)保持控制頂點(diǎn)和其它權(quán)因子不變，減少或增加某權(quán)因子時(shí)，曲線被推離或拉向相應(yīng)頂點(diǎn)。 時(shí)，上式是拋物線弧， ]1,1,1,0,0,0[?T2210222211002)1(2)1()1(2)1()(??????ttttPtPttPttP?????????2021????sfCsfC1?sfC清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 時(shí)，上式是雙曲線弧， 時(shí)，上式是橢圓弧。 B0P1P2P3P4P5PiBN圖 3 . 1 . 35 N U R B S 曲線中的權(quán)因子的作用清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) NURBS表示 ? 取節(jié)點(diǎn)向量為 則 NURBS曲線退化為二次Bezier曲線，且可以證明，這是圓錐曲線弧方程 。( 1 ??? ? iii tPBtPN ??)。( ?? itPB ? )1,0。 ),1,0)(,( nizyxP iiiiiiii ??? ?????清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 權(quán)因子的幾何意義 – 如果固定曲線的參數(shù) t，而使 變化，則NURBS曲線方程變成以 為參數(shù)的直線方 程，即 NURBS曲線上 t值相同的點(diǎn)都位于同一直線上。 – 若 ，則當(dāng) 時(shí)， – 非有理與有理 Bezier曲線和非有理 B樣條曲線是NURBS曲線的特殊情況 ??i? ],[ kii ttt ??iPtP ?)(清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 齊次坐標(biāo)表示 齊次坐標(biāo)系 xyw中的控制頂點(diǎn)為 k階非有理 B樣條曲線可表示為： ),1,0)(,( niyxP iiiiii ??? ???????nikii tNPtP0, )()(??清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) – 以坐標(biāo)原點(diǎn)為投影中心，則得到平面曲線 ?????nikiinikiiitNtNPtP0,0,)()()(??yxw0P1P2P)( tP?0P?1P?2P)( tP?1??圖3 .1. 34 平面NUR BS曲 線齊次坐標(biāo)表示清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) – 三維空間的 NURBS曲線可以類似地定義。 – 在曲線定義域內(nèi)有與有理基函數(shù)同樣的可微性 。 – 凸包性 。 – 若 ?i=0，則 Ri,k(t)=0； – 若 ?i=+?，則 Ri,k(t)=1； ???niki uR0, 1)(清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) ? NURBS曲線與 B樣條曲線具有類似的幾何性質(zhì)： – 局部性質(zhì) 。 清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) ? 應(yīng)用 NURBS中還有一些難以解決的問題： – 比傳統(tǒng)的曲線曲面定義方法需要更多的存儲(chǔ)空間 – 權(quán)因子選擇不當(dāng)會(huì)引起畸變 – 對(duì)搭接、重疊形狀的處理很麻煩。 – 具有明顯的幾何解釋和強(qiáng)有力的幾何配套技術(shù) – 對(duì)幾何變換和投影變換具有不變性。 ? 提出 NURBS方法，即 非均勻有理 B樣條 方法主要是為了找到與描述自由型曲線曲面的 B樣條方法既相統(tǒng)一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法。 清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) – NURBS太過復(fù)雜，常令人望洋興嘆 – NURBS Book， 走向?qū)嵱没? (見下頁 ) 清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) Some years ago a few researchers joked about NURBS, saying that the acronym really stands for NOBODY Understands Rational BSplines, write the authors in their foreword。 )(, uN pi )(, vN qjijP清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 00P10P20P30P01P11P21P31P02P22P12P32P03P23P33P 雙 三次B樣條 曲面片清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) NURBS曲線與曲面 ? B樣條曲線包括其特例的 Bezier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線， B樣條曲面包括其特例的 Bezier曲面都不能精確表示出拋物面外的二次曲面，而只能給出近似表示。 ???????????????????????1,1 ,2 ,)1(1,1,0 ,11111nrijPPrikijPPPkijPP
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