44三次樣條插值(參考版)
2024-10-04 10:16本頁面
【正文】 20001gfgfRfffff???????????線性相關(guān)的函數(shù)系 ? 定義 設(shè)函數(shù) ,如果存在一組不全為零的數(shù) 使 ( ) [ , ] , ( 0 , 1 , 2 )k x C a b k n? ??k?0 0 1 1( ) ( ) ( ) 0nnx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?成立 ,則稱函數(shù)系 是線性相關(guān)的 ,否則稱 是線性無關(guān)的 . ? ?0() nk x?? ?0() nk x?線性相關(guān)的函數(shù)系的判定 ? 定理 函數(shù) 在區(qū)間 [a,b]上線性相關(guān)的充分必要條件是 Gramer行列式 ? ?0()nk x?0 0 0 1 01 0 1 1 10101( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )( , , , ) 0( , ) ( , ) ( , )nnnn n n nG? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ?????? 不難證明 在 R上線性無關(guān) . ? 定理 :函數(shù)系 線性無關(guān)的充分必要條件是 Gramer行列式 . ( ) ( 0 , 1 , 2 , )kk x x k n? ? ? ???? ?0()nk x?01( , , , ) 0nG ? ? ?? ? ? ?最佳平方逼近 ? 定義 設(shè)函數(shù) 及函數(shù)系 且線性無關(guān) . 記 為連續(xù)函數(shù)空 C[a,b]的子空間 ,如果存在元素 滿足 ( ) [ , ]f x C a b?( ) [ , ] ( 0 , 1 , 2 , )k x C a b k n? ? ? ???01{ , , , }nSpan? ? ? ?? ???**0( ) ( )nkkks x x???? ?2 2*222 0in f in f ( ) [ ( ) ( ) ] ( 4 . 5 . 5 )nbkkasskf s f s x f x x d x?? ? ? ????? ? ? ? ? ??則稱 為 f(x)在 上的最佳平方逼近函數(shù) .且 其中 是法方程 唯一的一組解 . *()sx ?**0( ) ( )nkkks x x???? ?* * *01, , ,n? ? ????02 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0 ( 0 , 1 , 2 , )nbk k jakx f x x x d x j n? ? ? ??? ? ? ? ????? 令 則誤差為 *( ) ( )f x s x? ??2 * * * * *22**20( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )nkkkf s f s f s f f s sf f s f f f????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?特例 ? 取 則法方程為 其中 ( ) ( 0 , 1 , 2 , ) , ( ) 1 , [ , ] [ 0 , 1 ]kk x x k n x a b??? ? ? ?? ? ?001111121111( 4. 5. 10 )3221 1 11 2 2 1nnnnn n n???????????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ???10 ( ) ( 0 , 1 , 2 , )kj x f x d x k n? ? ? ????例題 ? 例 設(shè) 求 f(x)在區(qū)間[0,1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式 . ? 解 設(shè) 由于 ( ) , [ 0 , 1 ] ,xf x e x??01()s x x????11 0 00( , ) 1xf e d x e??? ? ? ??11 1 10( , ) 1xf x e d x??? ? ??? 故法方程為 解得 ??????????????????????????????? ?11e103121211??01*4 1 0 0 . 8 7 3 1 2 7 3 1 3 , 6 ( 3 ) 1 . 6 9 0 3 0 9 0 3( ) 0 . 8 7 3 1 2 7 3 1 3 1 . 6 9 0 3 0 9 0 3ees x x??? ? ? ? ? ???? 平方誤差為 )3(6)1)(104(210211002222??????????????????所以eeedxefx 對離散數(shù)據(jù)的曲線擬合最小二乘法 ? 曲線擬合問題 對于 f(x)插值問題 ,要想提高精度 ,就要增加節(jié)點(diǎn) ,因此多項(xiàng)式的次數(shù)也就太高 ,計算量過大 ,而節(jié)點(diǎn)少 ,多項(xiàng)式的次數(shù)低 ,但誤差精度不能保證 ,為了消除誤差干擾 ,取多一些節(jié)點(diǎn)利用最小二乘法確定低次多項(xiàng)式近似表示 f(x),這就是曲線擬合問題 . ? 在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中 ,得到函數(shù) y=f(x)的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) : ,求曲線
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