1671各種積分間的聯(lián)系1672曲線積分和路徑的無關(guān)性1673場論初步(參考版)
2024-10-03 19:21本頁面
【正文】 2. 是否滿足高斯公式的條件 。 設(shè)空間區(qū)域 G, 如果 G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于 G, 則稱 G是空間二維單連通域 。 1 1 1 1 L D y x O 格林公式的應用 （格林公式） 從 證明了 ： 練習 1 計算積分 ? ???Lxx yyxyy d)1c o se(d)si ne(解 ???Dx yc o se( yxyx dd)1c o se ??222 ???? A?? ???????? ?????DyxyPxQ dd?? ?LyyxQxyxP d),(d),(? ???Lxx yyxyy d)1c o se(d)si ne(① ② ③ ④ 練習 2 求星形線 tytxL 33 si n,c o s ??： 所界圖形的面積。 2. 曲線積分和路徑的無關(guān)性 167。167。 1. 各種積分間的聯(lián)系 167。 3. 場論初步 第二十二章 各種積分間的聯(lián)系和場論初步 一、區(qū)域連通性的分類 設(shè) D為平面區(qū)域 , 如果 D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于 D, 則稱 D為平面單連通區(qū)域 , 否則稱為復連通區(qū)域 . 復連通區(qū)域 單連通區(qū)域 D D 第一節(jié) 各種積分間的聯(lián)系 22221 , 001x y xxy? ? ?? ? ?例 如 ， 平 面 上 的 圓 右 半 平 面 都 是 單 連 通 區(qū) 域 ,而 圓 環(huán) 使 復 連 通 區(qū) 域 .注 ： 單 連 通 區(qū) 域 是 不 含 有 洞 甚 至 不 含 有 點 洞 的 區(qū) 域 .二、格林公式 設(shè)閉區(qū)域 D 由分段光滑的曲線 L 圍成 , 函數(shù) ),(),( yxQyxP 及在 D 上具有一階連續(xù)偏導數(shù) , 則有 ??????????LDQ d yPd xd x d yyPxQ)( (1) 其中 L 是 D 的取正向的邊界曲線 , 公式 (1) 叫做 格林公式 . 定理 連成與由 21 LLL 組成與由 21 LLL邊界曲線 L的正向 : 當觀察者沿邊界行走時 ,區(qū)域 D總在他的左邊 . 2LD1L2L1LD}),()(),{( 21 bxaxyxyxD ????? ??證明 (1) 若區(qū)域 D 既是 ?X 型又是 ?Y 型 ,即平行于坐標軸的直線和 L 至多交于兩點 .}),()(),{( 21 dycyxyyxD ????? ??y x o a b D c d )(1 xy ??)(2 xy ??A B C E )(2 yx ??)(1 yx ??dxxQdyd x d yxQ yydcD???? ????? )( )(21???? ?? dcdc dyyyQdyyyQ )),(()),(( 12 ???? ?? C A EC B E dyyxQdyyxQ ),(),(?? ?? E A CC B E dyyxQdyyxQ ),(),(?? L dyyxQ ),(同理可證 ??? ???? LDdxyxPd x d yyP ),(y x o d )(2 yx ??D c C E )(1 yx ?? 若區(qū)域 D 由按段光滑的閉曲線圍成 . 如圖 ,證明 (2) L1L2L3LD 1D2D3D兩式相加得 ??? ???????LD Q dyP dxdx d yyPxQ )(將 D 分成三個既是 ?X 型又是?Y 型的區(qū)域 1D , 2D , 3D .?????? ???????????321)()(DDDDd x d yyPxQd x d yyPxQ?????? ?????????????????321)()()(DDDd x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ??? ?????? 321
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