課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計課程組(參考版)
2024-10-02 10:04本頁面
【正文】 以上兩式是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式 . 特別，當(dāng) X和 Y獨立，設(shè) (X,Y)關(guān)于 X,Y的邊緣密度分別為 fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為 : ? ??? ?? dyyfyzfzf YXZ )()()(這兩個公式稱為 卷積公式 . ? ??? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()(為確定積分限 ,先找出使被積函數(shù)不為 0的區(qū)域 例 5 若 X和 Y 獨立 ,具有共同的概率密度 求 Z=X+Y的概率密度 . ??? ???其它,010,1)(xxf? ??? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()(解 : 由卷積公式 ????????1010xzx即 ????????110xzxx??????????????? ???其它,021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf如圖示 : 于是 為確定積分限 ,先找出使被積函數(shù)不為 0的區(qū)域 ????????1010xzx 即 ? ??? ?? dxxzfxfzf YXZ )()()(????????110xzxx解法二 從分布函數(shù)出發(fā) )()( zYXPzF Z ????????zyxdx dyyxf ),(當(dāng) z 0 時 ， 0)( ?zFZ1 y x 1 可用 卷積公式直接求密度函數(shù) 與 通過分布函數(shù)求密度函數(shù) 兩種方法求和的分布 ????? zyx Yd x d yyfxf )()(X當(dāng) 0 ? z 1 時， ?? ?? xzzZ dydxzF 00 1)(? ?? z dxxz0 )(22z?zzf Z ?)(1 y x 1 ? z ? z 當(dāng) 1? z 2 時， ?? ????? xzzZ dydxzzF 01 1 1)1()(? ? ???? 1 1 )(1 z dxxzz1222??? zzzzf Z ?? 2)(z1 1 y x 1 ? z ? z 1 y x 1 2 2 當(dāng) 2 ? z 時， 1)( ?zF Z0)( ?zf Z?????????????21,210,20,0)(zzzzzzzf Z或例 6 甲乙兩人約定中午 12時 30分在某地會面 .如果甲來到的時間在 12:15到 12:45之間是均勻分布 . 乙獨立地到達(dá) ,而且到達(dá)時間在 12:00到13:00之間是均勻分布 . 試求先到的人等待另一人到達(dá)的時間不超過 5分鐘的概率 . 又甲先到的概率是多少 ？ 解 : 設(shè) X為甲到達(dá)時刻 ,Y為乙到達(dá)時刻 以 12時為起點 ,以分為單位 ,依題意 , X~U(15,45), Y~U(0,60) ????????其它,04515,301)(xxf X所求為 P( |XY | 5) 及 P(XY) ?????????其它,0600,601)(xyf Y解 : 設(shè) X為甲到達(dá)時刻 ， Y
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