【正文】 A ???0 de xx .B. xxd11??? C. ???0 cos dxx D. xx d1 21??? (4) 若 )(xf 是 ],[ aa? 上的連續(xù)偶函數(shù)，則 )()( ???aa dxxf 。 A. cxF ?? )1( 2 ； B. cxF ??? )1( 2 ； C. cxF ??? )1(21 2； D. cxF ?)( 解：由復合函數(shù)求導法則得 )1)(1(21])1(21[ 222 ???????? xxfxF )1()1)(1(21 222 xxfxxf ??????? 故選項 C 正確． 三、計算題 ⒈計算下列積分： ⑴x x x12?? d ⑵ 122?? xx xd 解：⑴利用第一換元法 ??? ??????? )d(112 1)d(12 1d1 22222 xxxxxxx cxx ?????? ? 22 1)1d( ⑵利用第二換元法，設 tx sin? ， ttx dcosd ? ? ??? ??????? tttt ttt ttxx x 1)ds i n1(ds i ns i n1ds i n c osc osd1 22 222 2 cxxxctt ????????? a rc s i n1c ot 2 ⒉計算下列積分： ⑴ ? xxdarcsin ⑵ ? xxxdln2 解：⑴利用分部積分法 ??? ????? xxxxxxxxxxx d1a rc s i n)(a rc s i nda rc s i nda rc s i n 2 )d(1121a rc s i n 22? ???? xxxx cxxx ???? 21a rc s i n ⑵利用分部積分法 )lnd(1ln)1d(lndln 2 ??? ????? xxx xxxxx x cxxxxxx x ??????? ? 1lnd1ln 2 高等數(shù)學（ 1）第六章學習輔導 綜合練習題 （一）單項選擇題 （ 1）．下列式子中，正確的 是（ ）。 A. 1ln?x ； B. xln ； C. x ； D. xxln 解：因 1lnln)ln()( ?????? xxxxxxxf 15 ??? 10 210 2 33 dttdxx故選項 A 正確． ⒉設 Fx() 是 f x() 的一個原函數(shù)，則等式（ ）成立。 解： 42 12)(a rc t a n)( xxxxf ???? 24424444 )1( 62)1( 8)1(2)1 2()( x xx xxxxxf ???? ??????? ⒊已知 Fx() 是 f x() 的一個原函數(shù)，那么 f ax b x( )? ?? d 。 解： cxxx ??? 2d2 ，即曲線方 程為 cxy ?? 2 。 于是以 6 米為底邊長， 3 米為高做長方體容器用料最省。 欲做一個底為正方形，容積為 108 立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最??？ 解：設底邊邊長為 x ，高為 h ，所用材料為 y 且 22108,108 xhhx ?? xhxy 42 ?? 22224321084 xxxxx ???? 232 43224322 xxxxy ?????? 令 0??y 得 60)216(2 3 ???? xx ， 且因為 0,6。當01 ??? x 時， 0??y ；當 ????x0 是， 0??y 。 三、解答題 14 求函數(shù) )1ln( xxy ??? 的單調區(qū)間。 )(xf 在 ),( ba 內連續(xù)， ),(0 bax ? ，且 0)()( 00 ????? xfxf ，則函數(shù)在 0xx? 處（ ）。 A）極值點 B）拐點 C）駐點 D）間斷點 解：選擇 C。 由拉格朗日定理條件，函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 內連續(xù)，在 ),( ba 內可導，所以選擇 D 正確。 A）在 ),( ba 內連續(xù)； B）在 ),( ba 內可導； C）在 ),( ba 內連續(xù)，在 ),( ba 內可導； D）在 ],[ ba 內連續(xù)，在 ),( ba 內可導。 二、單選題 12??xy 在區(qū)間 ]2,2[? 上是（ ） A） 單調增加 B）單調減少 C）先單調增加再單調減少 D）先單調減少再單調增加 解：選擇 D xy 2?? ，當 0?x 時， 0)( ??xf ；當 0?x 時， 0)( ??xf ；所以在區(qū)間 ]2,2[? 上函數(shù)12??xy 先單調減少再單調增加。 解 1a rc t a n211)1(a rc t a n2 22 ??????? xxxxxxy 21 2a rc t a n2)1a rc t a n2( xxxxxy ???????? 第四章 導數(shù)的應用典型例題 一、填空題 )1ln( 2xy ?? 的單調增加區(qū)間是 . 解： 212xxy ????，當 0?x 時 0??y .故函數(shù)的單調增加區(qū)間是 )0,(?? . ??? xxx 1lnlim1 . 解：由洛必達法則 111l i m)1( )( l nl i m1lnl i m 111 ?????? ??? ??? xxxxx xxx )ee(21)( xxxf ???的極小值點為 。 解：方法一：等式兩端對 x 求導得 2e y yxyxyyyxy y ???????? 整理得 xxyyx xyyy y ????? e22 方法二：由一階微分形式 不變性和微分法則，原式兩端求微分得 左端 yyxxyxyxy yyy dedd)e(d)(d)e(d ??????? 右端 2dd)(d)(l nd y yxxyxyyxxyyx ????? 由此得 2 dddedd y yxxyxyyyxxy y ????? 整理得 13 xxyyx xyyxy y ???? edd 22 y y x? ( ) 由參數(shù)方程 x ty t?? ??????221 確定，求ddyx。 解 ]e)[e(e])e([ )()( ????? xfxxfx ffy = ])([e)e(e]e)[e( )()( ???? xfff xfxxfxx = )(e)e(ee)e( )()( xfff xfxxfxx ??? = )]()e(e)e([e )( xfff xxxxf ??? 求復合函數(shù)的導數(shù)時，要先搞清函數(shù)的復合構成，即復合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，特別要分清復合函數(shù)的復合層次，然后由外層開始，逐層使用復合函數(shù)求導公式，一層一層求導，關鍵是不要遺漏，最后化簡。 A. cosx2 ； B.?cosx2 ； C. 2 2x xcos ； D.?2 2x xcos 解： 222 c o s2)(c o s xxxxy ????? 故選項 C 正確。而 1)0( ??y ，故選項 C 正確。 4．曲線 y x x? ?e 在點（ ）處的切線斜率等于 0。 因為 xxxf 11)1( ??，由此得 xxf1)( ?，所以 21)1()( xxxf ????? 即選項 D 正確。 ⒉設 xxf ?)1(，則 ?? )(xf （ ）。 解： 42)( ??? xxf ，故 372445)42(4)42()]([ 22 ????????? xxxxxff 故應填 37244 2 ?? xx 12 二、單項選擇題 ⒈設函數(shù) 2)( xxf ? ，則 ???? 2)2()(lim2 xfxfx （ ）。 解：由導數(shù)的幾何意義知，曲線 )(xf 在 0xx? 處切線的斜率是 )(0xf? ，即為函數(shù)在該點處的導數(shù)，于是 2121)1(,2112323 ???????????xxyxy 故應填 21?。 解： 1)0(0)0()(l i m)(l i m00 ???????? fxfxfx xfxx 故應填 1。要求函數(shù)的 n 階導數(shù)就要先求函數(shù)的 1?n 階導數(shù)。 函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導數(shù)的導數(shù)。 ⒋ 熟練掌握微分運算法則 微分四則運算法則與導數(shù)四則運算法則類似 vuvu dd)(d ??? vuuvvu dd)(d ??? )0(dd)(d 2 ??? vv vuuvvu 一階微分形式的不變性 uyxuyxyy uxux dddd ???????? 微分的計算可以歸結為導數(shù)的計算，但要注意它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導數(shù)與自變量微分的乘積。 又例如函數(shù) 3 21??? xxy，求 y? 。 在求導時直接用導數(shù)的除法法則是可以的，但是計算時會麻煩一些，而且容易出錯。 ⒉了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。 曲線 )(xfy? 在點 ))(,( 00 xfx 處的切線方程為 )())(( 000 xfxxxfy ???? 函數(shù) )(xfy? 在 0x 點可導，則在 0x 點連續(xù)。 )(xf 在點 0xx? 處可導是指極限 x xfxxfx ? ????? )()(lim 000 存在，且該點處的導數(shù)就是這個極限的值。 第三章 導數(shù)與微分 導數(shù)與微分這一章是我們課程的學習重點之一。 因為 bbxxxf xx ??? ?? ?? )1s i n(l i m)(l i m00 所以，當 1?b 時，有 )(lim)(lim 00 xfxf xx ?? ?? ? 成立，即 1?b 時，函數(shù)在 0?x 處有極限存在，又因為函數(shù)在某點處有極限與在該點處是否有定義無關，所以此時 a 可以取任意值。求解時先有理化根式在利用除法法則和第一個重要極限計算。 A. e 1x x, ( )?? ； B.sin , ( )xx x ? ?； C. ln( ), ( )1 1? ?x x ； D.x x x? ? ?1 1 0, ( ) 解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以 0sinlim ??? x xx 而 A, C, D 三個選項中的極限都不為 0，故選項 B 正確。 二、單項選擇題 ⒈函數(shù) f x x x( ) sin?1在點 x?0 處（ ）． ； ； ； 解： )(xf 在點 x?0 處沒有定義，但 01sinlim0 ?? xxx （無窮小量 ?有界變量 =無窮小量） 故選項 B 正確。 ⒊⒋⒌⒍設 23)( 2 ??? xxxf ，則 f f x[ ( )]? ? 。 解：由 )(xf 是分段函數(shù)， 0?x 是 )(xf 的分段點，考慮函數(shù)在 0?x 處的連續(xù)性。 解： 010s i nl i m1s i nl i m)s i n1s i n(l i ms i n1s i nl i m 00020 ?????? ???? xxxxxxxxx xxxxxx 注意： 01sinlim0 ?? xxx （無窮小量乘以有界變量等于無窮小量） 111s i nl i m 1s i n1l i ms i nl i m000 ???????xxxxxxxxx，其中 xxsinlim0? =1 是第一個重要極限。 ⒍理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為 0）及復合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內連續(xù)的結論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個結論。 求極限有幾種典型的類型