【正文】 例：利用雙線性變換法設計巴特沃斯型數字低通濾波器 設計參數：通帶數字截止率 ，通帶內最大衰減 阻帶數字截止率 ，阻帶內最小衰減 dBA p ?dBAs 15??? ?p?? ?s解 第一步 進行頻率預畸變求 sp ?? 、0 . 4 1 4 2 1 3 6t g 0 . 1 2 5)2( ???? ?? pp tg g 0. 27 5)2( ???? ?? ss tg第二步 計算巴特沃斯型數字低通濾波器的階數 2 . 6 5 8 6 9 9 7)/l g ()]110/()110l g [ (21)/l g ()/l g ( ?????????psAApspsN ??取 N=3 第三步 通過查表求得 3階巴特沃斯低通濾波器原型的系統函數 )1)(1(1)(2 ???? ssssH a第四步 求 3dB截止頻率 ，并反歸一化求得 c? H s H sa c( ) ( / )? ?pANcppjH22 10)/(11|)(| ???????解得： ，反歸一化求 得 0 . 5 8 8 1 4 8??c)3 4 5 91 8 8 14 )(5 8 8 14 (2 0 3 45 )/()(2 ?????? ssssHsH ca第五步 求得 H(z)代入雙線性變換公式，化簡后求得 1111)()(??????zzssHzH))(()1()(21131?????????zzzzzH11111)()(???????zzsacsHzH也可按下式將第三步與第四步可合并在一起進行，求出 H(z) 設計濾波器的幅度響應與相位響應 66 數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計 – 設計思想： 數字濾波器 技術指標 模擬濾波器 技術指標 轉為模擬 低通濾波器 技術指標 模擬低通 濾波器設計 轉換為所需的 模擬濾波器 數字濾波器 例 設計一個三階巴特沃斯型高通數字濾波器， 3dB數字截頻為 ，求濾波器的系統函數。 例如 ????????????????miSHZHZHZHZHZHSHSHSHSHZZcsaiimamaaa,...,2,1,)()()() ...()()()() ...()()()1/()1(212111并聯形式與上述類似 3。 從 的關系曲線可以看出，在零頻附近， 與 之間的 )(?? f? ??? 設計方法 1。因此， DF的幅頻響應 相對于 AF的幅頻響應會產生畸變。其突出的優(yōu)點是避免了頻響的混疊失真。穩(wěn)定的 AF，經雙線性變換后所得 DF也一定是穩(wěn)定的，這是 因為穩(wěn)定的 AF，其極點必全部位于 S的左半平面上，經雙線性變 換后，這些極點全部落在單位圓內。 S平面的虛軸（ ）映射到 Z平面的單位圓上。 ????????jjtgTeeTs jj)2(2112 ???,?jez ?令11112?????zzTs帶入表達式 得： 說明 S平面的虛軸 映射成了 Z平面的單位圓 s j? ?? ?令 , 帶入表達式 sTsTz???22得： ???????jTjTz??)/2()/2(2222)/2()/2(?????????TTz顯然當 時， 1， ? ? 0zS平面的左半平面軸映射到了 Z平面的單位圓內，保證系統函數經映射后穩(wěn)定性不變 雙線性變換的頻率對應關系 模擬頻率與數字頻率是一種非線性的關系 )2(2 1TtgT ???模擬濾波器與數字濾波器的響應與對應的頻率關系上發(fā)生了畸變，也造成了相位的非線性變化，這是雙線性變換法的主要缺點 雙線性變換法 除了不能用于線性相位濾波器設計外，仍然是應用最為廣泛的設計 IIR數字濾波器的方法。 例如， 零點就沒有這種對應關系 。 （ 2） 與 H（ Z）的系數相同，均為 （ 3） AF是穩(wěn)定的， DF也是穩(wěn)定的。因此 H(z)是一個穩(wěn)定的離散系統函數，這說明由一個穩(wěn)定的模擬濾波器得到了一個穩(wěn)定的數字濾波器 映射關系 sTez ????????jsrez j????????Ter T??TMTjTsT eeez )2( ?? ????脈沖響應不變法的映射過程 2．脈沖響應不變法設計的濾波器的頻率響應 根據抽樣定理，序列 h(n)的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓 原模擬濾波器的頻率響應為 ， )( ?jHa由于 h(n)是 h(t)的等間隔抽樣 )2(1)( nTjTjHTeH anj ??? ?? ?????如果模擬濾波器的頻率響應是帶限于折疊頻率之內，即 這樣數字濾波器的頻率響應才能等于模擬濾波器的頻率響應 然而，高通和帶阻濾波器不能滿足 (2)式的要求，將會產生混疊 脈沖響應不變法不適合用來設計高通和帶阻數字濾波器。先 ，再對 抽樣，使 ，最后 H（ Z） =Z[h（ n） ]，一 般說來過程復雜。 我們這里只討論沖激響應不變法和雙線性變換法 設計 IIR濾波器的脈沖響應不變法 1．設計的基本原理和方法 原理： 從時域響應出發(fā)，使求得的數字濾波器的單位脈沖響應 h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應 h(t)的抽樣值。 )S(Ha變換關系的基本要求： 因果穩(wěn)定的 AF轉換為 DF，也是因果穩(wěn)定； S平面的左半平面映射到 Z平面的單位圓內部 DF的頻率響應模仿 AF的頻率響應， S平面平面 的虛軸映射到 Z平面的單位圓，相應的頻率之間 成線性關系。39。 ssPp AA , ???c?c?c設計舉例二（巴特沃斯 filter） 技術指標 計算所需的階數及 3dB截止頻率 將技術指標，代入上式，可得 1)102j(Hlg20 3a ????15)103j(Hlg20 3a ?????C?])