【正文】 自動(dòng)控制原理 蔣大明 二、開環(huán)極點(diǎn)的變化對(duì)根軌跡的影響 例 1： GK(S) = K/[S(S+2)] 0 1 2 穩(wěn)定 自動(dòng)控制原理 蔣大明 開環(huán)極點(diǎn)的變化對(duì)根軌跡的影響 增加開環(huán)極點(diǎn)： GK*(S)= K/[S(S+2)(S+P)] P = 4 P = 0 4 2 0 2 2/3 0 不穩(wěn)定 自動(dòng)控制原理 蔣大明 開環(huán)極點(diǎn)的變化對(duì)根軌跡的影響 由漸近線方向角公式： υ a= (2K+1)π /(nm) 增加極點(diǎn) → n變大 → 分母變大 → υ a變小 → 根軌跡向右彎 曲 → 對(duì)穩(wěn)定性不利 . 增加開環(huán)極點(diǎn)，將使根軌跡產(chǎn)生向右彎曲的傾向，對(duì)穩(wěn) 定性產(chǎn)生不利的影響。 6倍以上 . 可認(rèn)為 S1， S2是主導(dǎo)極點(diǎn) . 自動(dòng)控制原理 蔣大明 利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 4. 用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 只有兩個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)起作用，系統(tǒng)被近似看成二階系統(tǒng)。 —— 阻尼線 阻尼線與根軌跡的交點(diǎn)為 S1， 從圖中可得 S1= + S2= 求與 S1對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益： |GK(S)|=1 代入 S = + |+||++1||++2| = 2K 解得 : K = (根軌跡上某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 K值 ) S1 阻尼線 S2 S3 自動(dòng)控制原理 蔣大明 利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 確定 S3的位置 (確認(rèn)主導(dǎo)極點(diǎn) ) 已知特征方程的兩個(gè)根 S1和 S2，求第三個(gè)根 S3。 因此使系統(tǒng) 穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是： 0K3。 } 自動(dòng)控制原理 蔣大明 利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 分離點(diǎn)： K = S(S + 1)(S + 2)/2 = (S3 + 3S2 + 2S)/2 dK/dS = 3S2 + 6S + 2 = 0 解出： S1= , S2= (不在根軌跡上，舍 ) 與虛軸交點(diǎn)： 特征方程： S3 + 3S2 + 2S + K* = 0 代入 S=jw (jw)3 + 3(jw)2 + 2(jw) + K* = 0 自動(dòng)控制原理 蔣大明 利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 實(shí)部： 3w2 + K* = 0 虛部： w3 + 2w = 0 解得： w1= 0, K=0 w2,3= 177。 ， 60176。 實(shí)軸上 : (0， 1)， (2， ∞) 為根軌跡。 自動(dòng)控制原理 蔣大明 四、利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： GK(S) = K/[S(S+1)(+1)] 試應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極 點(diǎn)具有阻尼比 ζ = 。 當(dāng) SK與 Zi靠得很近時(shí)，對(duì)應(yīng)的 AK很小， h(t)中的這個(gè)分 量可以忽略。 往往只用主導(dǎo)極點(diǎn)（把高階系統(tǒng)近似看成是一階或二階 系統(tǒng)）來(lái)估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 自動(dòng)控制原理 蔣大明 三、主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子 離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響最大，起 著主要的作用，稱之為主導(dǎo)極點(diǎn)。 COSθ =ζ Wn/Wn =ζ θ =45176。 自動(dòng)控制原理 蔣大明 系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系 3．要求系統(tǒng)平穩(wěn)性好，則復(fù)數(shù)極點(diǎn)最好設(shè)置在 S平面中與負(fù) 實(shí)軸成 45176。 自動(dòng)控制原理 蔣大明 系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系 二、閉環(huán)零極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系 1．要求系統(tǒng)穩(wěn)定，所有閉環(huán)極點(diǎn) Si均應(yīng)位于 S平面的左 半部。 主根軌跡與虛軸交點(diǎn)為 177。 180 176。 6*180N/ , 自動(dòng)控制原理 蔣大明 滯后系統(tǒng)的根軌跡舉例 由規(guī)則七 : 實(shí)軸上的分離點(diǎn) K= eτ S(S+1) dK/dS = eτ S τ Seτ S – τ eτ S = 0 S = (1+τ ) /τ (設(shè) τ =1, 分離點(diǎn)為 : 2) 由規(guī)則八 : 與虛軸交點(diǎn)為 jω(設(shè) τ =1), 代入到幅角條件 ∠(j ω+1)= 176。 2*180N/ , 177。 3*180N/ , 177。 ωτ 規(guī)則七 : 實(shí)軸上根軌跡的分離 (或會(huì)合 )點(diǎn)可由下面的方程求出 dK / dS = 0 規(guī)則八 : 主根軌跡與虛軸交點(diǎn) , 可用 S=jω代入根跡方程求解 . 自動(dòng)控制原理 蔣大明 滯后系統(tǒng)的根軌跡舉例 例 : 設(shè)滯后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 GK(S) = K eτ S/(S+1) 試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡 . 解 : 特征方程 : 1 + K eτ S/(S+1) = 0 由規(guī)則三 : 起點(diǎn)為 P1= 1, σ = ∞ 和起點(diǎn)漸進(jìn)線 . 終點(diǎn)趨向終點(diǎn)漸近線 . 由規(guī)則四 : 實(shí)軸上 (1, ∞ )區(qū)段存在根軌跡 . 自動(dòng)控制原理 蔣大明 滯后系統(tǒng)的根軌跡舉例 由規(guī)則五 : 終點(diǎn)漸近線為 : 177。 ωτ 終止角 : θ Z1=(2K+1)180176。 τ 同理可證 nm為偶數(shù)時(shí) 漸進(jìn)線與 虛軸的交點(diǎn) . 自動(dòng)控制原理 蔣大明 滯后系統(tǒng)的根軌跡 規(guī)則六 :起始角和終止角 起始角 : θ P1=(2K+1)180176。 ω= = 即為漸進(jìn)線與 虛軸的交點(diǎn) . 176。 176。 當(dāng) nm為奇數(shù)時(shí) : 2K*180176。 ωτ = (nm)*180176。 ωτ + (2K+1)*180176。 n*180176。 ωτ + (2K+1) *180 176。 4, … 自動(dòng)控制原理 蔣大明 滯后系統(tǒng)的根軌跡 規(guī)則五的證明 : 漸進(jìn)線 (根軌跡 )上取一點(diǎn) S=∞ , 不是起點(diǎn)就是終點(diǎn) . 如為起點(diǎn) : σ = ∞ 。 5, … N=0, 177。 1, 177。 3,177。 4, … N= 177。 ωτ , 但對(duì)實(shí)軸 :ω= 0, 所以無(wú)變化 . 規(guī)則五 : 漸近線有無(wú)窮多條 , 且都平行于實(shí)軸 , 與虛軸的交點(diǎn) : ω= 180N/ 其中 N值如表中所示 . nm 起點(diǎn)漸進(jìn)線 終點(diǎn)漸進(jìn)線 奇數(shù) N=0, 177。 (2K+1) *180 176。 (2K+1)∏ = 176。 } 分離點(diǎn)：特征方程： 1 G(S)H(S) = 0