【正文】 全國 2020 年 4 月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 1． 3 階行列式011101110||????ija 中元素 21a 的代數(shù)余子式 ?21A （ C ） A． 2? B． 1? C． 1 D． 2 101 1121 ????A ． 2．設(shè)矩陣 ????????? 2221 1211 aa aaA， ???????? ??? 1211 12221121 aa aaaaB， ????????? 01 101P， ????????? 11 012P，則必有（ A ） A． BAPP ?21 B． BAPP ?12 C． BPAP ?21 D． BPAP ?12 ????????????????? 11 0101 1021 APP ?????????????????????????? 2221 12112221 1211 01 11 aa aaaa aa Baa aaa ????????? ?? 1211 12221121 ． 3．設(shè) n 階可逆矩陣 A 、 B 、 C 滿足 EABC? ，則 ??1B （ D ） A． 11 ??CA B． 11 ??AC C． AC D． CA 由 EABC? ，得 EABC ???? 111 ， CAB ??1 ． 4．設(shè) 3 階矩陣???????????000100010A ，則 2A 的秩為（ B ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 ?2A???????????????????????????????000000100000100010000100010 ， 2A 的秩為 1． 5．設(shè) 4321 , ???? 是一個(gè) 4 維向量組，若已知 4? 可以表為 321 , ??? 的線性組合，且表示法惟一，則向量08 年 1 月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 21 組 4321 , ???? 的秩為（ C ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 321 , ??? 是 4321 , ???? 的極大無關(guān)組， 4321 , ???? 的秩為 3． 6．設(shè)向量組 4321 , ???? 線性相關(guān) ，則向量組中（ A ） A．必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 B．必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 C．必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 D．每一個(gè) 向量都可以表為其余向量的線性組合 7．設(shè) 321 , ??? 是齊次線性方程組 0?Ax 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解系的是（ B ） A． 2121 , ???? ? B． 133221 , ?????? ??? C． 2121 , ???? ? D． 133221 , ?????? ??? 只有 133221 , ?????? ??? 線性 無關(guān)， 可以作為基礎(chǔ)解系． 8．若 2 階矩陣 A 相似于矩陣 ???????? ?? 32 02B， E 為 2 階單位矩陣，則與矩陣 AE? 相似的矩陣是（ C ） A． ???????? 41 01 B． ???????? ?? 41 01 C． ?????????? 42 01 D． ???????? ??? 42 01 B 與 A 相似，則 ???????????? 42 01BE與 AE? 相似． 9．設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣?????????????120240002A ，則 3 元二次型 Axxxxxf T?),( 321 的規(guī)范形為（ D ） A． 232221 zzz ?? B． 232221 zzz ?? C． 2221 zz ? D． 2221 zz ? 232212332222123322221321 )2(2)44(2442),( xxxxxxxxxxxxxxxxf ??????????? ， 規(guī)范形為 2221 zz ? ． 10．若 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣 )( ijaA? 是正定矩陣，則 A 的正慣性指數(shù)為（ D ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 08 年 1 月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 22 二、填空題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 11．已知 3 階行列式 696364232333231232221131211 ?aaaaaaaaa ，則?333231232221131211aaaaaaaaa _______________． 632323232323296364232333231232221131211333231232221131211333231232221131211 ?????????aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ， 61333231232221131211 ?aaaaaaaaa ． 12 ．設(shè) 3 階 行 列式 3D 的第 2 列 元素 分 別為 3,2,1? ， 對(duì) 應(yīng) 的 代 數(shù)余 子 式分 別 為 1,2,3? ，則?3D _______________． 4132)2()3(12323222221213 ????????????? AaAaAaD ． 13．設(shè) ?????????? 01 21A，則 ??? EAA 22 _______________． ???????? ???????????? ?????????? ??????? 11 2211 2020 20)(2 22 EAEAA ． 14． 設(shè) A 為 2 階矩陣，將 A 的第 2 列的（ 2? ）倍加到第 1 列得到矩陣 B ． 若 ????????? 43 21B，則?A _______________． 將 B 的第 2 列的 2 倍加到第 1 列可得 ????????? 411 25A． 15． 設(shè) 3 階矩陣???????????333220100A ，則 ??1A _______________． ???????????????????????????????????001012103100020033001010100100220333100010001333220100),( EA 08 年 1 月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 23 ???????????????????????????????????????00102/113/12/10100010001001012230100020006001012206100020066 ， ??1A????????????00102/113/12/10 ． 16． 設(shè)向量組 )1,1,(1 a?? ， )1,2,1(2 ??? ， )2,1,1(3 ??? 線性相關(guān)，則數(shù) ?a ___________． 036321 3103210311121112111???? ????????? aaaaaaa ， 2??a ． 17． 已知 Tx )1,0,1(1 ?? ， Tx )5,4,3(2 ? 是 3 元非齊次線性方程組 bAx? 的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 0?Ax 有一個(gè)非零解向量 ?? _______________． Txx )6,4,2(12 ???? （或它的非零倍數(shù)）． 18． 設(shè) 2 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的特征值為 2,1 ，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 T)1,1(1?? ， Tk),1(2 ?? ，則數(shù)?k ______________． 設(shè) ????????? db baA，由 11 1 ?? ??A ，即 ????????????????????????? 1111db ba， ????????????????? ?? 11db ba，可得 ba ??1 ， bd ??1 ； 由 22 2 ?? ??A ，即 ?????????????????????????? ?? kkbb bb 12111， ????????????????? ?? ?? kkbb bkb 22)1(1，可得 1??k ． 19． 已知 3 階矩陣 A 的特征值為 3,2,0? ，且矩陣 B 與 A 相似，則 ?? || EB _______________． EB? 的特征值為 4,1,1? ， 44)1(1|| ??????? EB ． 20． 二次型 232221321 )()(),( xxxxxxxf ???? 的矩陣 ?A _______________． 2332222121233222222121321 222)2()2(),( xxxxxxxxxxxxxxxxxxf ??????????? ， ???????????????110121011A ． 三、計(jì)算題（本大題共 6 小題，每小題 9 分，共 54 分） 08 年 1 月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 24 21． 已知 3 階行列式 ?|| ija4150231?xx 中元素12a 的代數(shù)余子式 812?A ，求元素 21a 的代數(shù)余子式 21A 的值 ． 解：由 8445 012 ????? xxA，得 2??x ，所以 5)38(41 3221 ?????????A． 22． 已知矩陣 ??????????? 01 11A， ?????????? 20 11B，矩陣 X 滿足 XBAX ?? ，求 X ． 解：由 XBAX ?? ，得 BXAE ?? )( ，于是 ???????? ?????????? ?????????? ????????? ?????????? ????????? ???? ?? 13/1 13/131 313120 1121 113120 1111 12)( 11 BAEX ． 23． 求向量組 T)3,1,1,1(1 ?? ， T)1,5,3,1(2 ???? ， T)4,1,2,3(3 ??? ， T)2,10,6,2(4 ???? 的一個(gè)極大無關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無關(guān)組線性表出 ． 解：???????????????????24131015162312311??????????????????????85401246041202311??????????????????????0700070041202311 ?????????????????????0000070041202311????????????????????0000010041202311???????????????????0000010040202020 ??????????????? ??0000010020202020???????????????0000010020200001， 321 , ??? 是一個(gè)極大線性無關(guān)組， ?4? 321 020 ??? ???? ． 24． 設(shè) 3 元齊次線性方程組??????????????000321321321axxxxaxxxxax ， （ 1）確定當(dāng) a 為何值時(shí)，方程組有非零解； （ 2）當(dāng)方程組有非零解時(shí)，求出它的基礎(chǔ)解系和全部解 ． 08 年 1 月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 25 解：（ 1）100010111)2(1111111)2(1212112111111||??