【正文】 ? ??????????????? 2020000001101301? ??????????????1000000001101301? ??????????????0000100001101301， 向量組的秩為 3， 421 , ??? 是一個極大線性無關(guān)組， ?3? 421 03 ??? ?? ． 25．已知線性方程組 ???????????????axxxxxxxx32132131522312　　，（ 1）求當(dāng) a 為何值時，方程組無解、有解； （ 2）當(dāng)方程組有解時，求出其全部解（要求用其一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示） ． 解： ?),( bA ??????????????a51223111201? ??????????????211011101201a? ?????????????300011101201a ． （ 1） 3??a 時，方程組無解， 3??a 時，方程組有解； （ 2） 3??a 時， ),( bA ?????????????000011101201，???????????333231121xxxxxx，全部解為???????????????????????112011k． 08 年 1 月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 13 26．設(shè)矩陣 A= ???????? 21 78，（ 1）求矩陣 A 的特征值與對應(yīng)的全部特征向量； （ 2）判定 A 是否可以與對角陣相似，若可以 ，求可逆陣 P 和對角陣 ? ，使得 ??? APP 1 ． 解： )9)(1(9102178|| 2 ???????? ???? ??????? AE，特征值 11?? ， 92?? ． 對于 11?? ，解齊次線性方程組 0)( ?? xAE? ： ????????????????? ?? ???? 00 1111 77AE? ， ??? ??? 22 21 xx xx ，基礎(chǔ)解系為 ?????????? 111? ，對應(yīng)的全部特征向量為 11?k （ 1k是任意非零常數(shù)）； 對于 92?? ，解齊次線性方程組 0)( ?? xAE? ： ???????? ?????????? ? ??? 00 7171 71AE? ， ??? ?? 22 21 7xx xx ，基礎(chǔ)解系為 ????????? 172? ，對應(yīng)的全部特征向量為 22?k（ 2k 是任意非零常數(shù)）． 令 ?????????? 11 71P， ?????????? 90 01，則 P 是可逆矩陣，使得 ??? APP 1 ． 四、證明題（本題 6 分） 27．設(shè) n 階矩陣 A 滿足 AA?2 ，證明 AE 2? 可逆，且 AEAE 2)2( 1 ??? ? ． 證：由 AA?2 ，得 EAAEAAEAEAE ????????? 4444)2)(2( 2，所以 AE 2? 可逆，且AEAE 2)2( 1 ??? ? ． 全國自考 2020 年 7 月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試卷答案 一、單項選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 3階方陣 A=[ 321 , ??? ]，其中 i?（ i=1, 2, 3）為 A 的列向量，且 |A|=2，則 |B|=|[ 3221 ,3 ????? ]|=（ C ） ??? ?? ?? 0xkx 0xx2121有非零解，則 k=（ A ） A， B 為同階可逆方陣，則下列等式中錯誤的是（ C ） A.|AB|=|A| |B| B. (AB)1=B1A1C. (A+B)1=A1+B1 D. (AB)T=BTAT 08 年 1 月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 14 A 為三階矩陣，且 |A|=2，則 |（ A*） 1|=（ D ） A： 4321 , ???? 中 432 , ??? 線性相關(guān)，那么（ B ） A. 4321 , ???? 線性無關(guān) B. 4321 , ???? 線性相關(guān) C. 1? 可由 432 , ??? 線性表示 D. 43,?? 線性無關(guān) s21 , ??? ? 的秩為 r，且 rs，則（ C ） A. s21 , ??? ? 線性無關(guān) B. s21 , ??? ? 中任意 r 個向量線性無關(guān) C. s21 , ??? ? 中任意 r+1 個向量線性相關(guān) D. s21 , ??? ? 中任意 r1 個向量線性無關(guān) A 與 B 相似，則（ D ） ， B 都和同一對角矩陣相似 ， B 有相同的特征向量 E=Bλ E D.|A|=|B| 1? ， 2? 是 Ax=b 的解 ，η是對應(yīng)齊次方程 Ax=0 的解，則（ B ） A. η + 1? 是 Ax=0 的解 B. η +（ 1? 2? ）是 Ax=0 的解 C. 1? + 2? 是 Ax=b 的解 D. 1? 2? 是 Ax=b 的解 ? =（ 1， 1， 1）正交的向量是（ D ） A. 1? =（ 1， 1， 1） B. 2? =（ 1， 1， 1） C. 3? =（ 1， 1， 1） D. 4? =（ 0， 1， 1） A= ?????? ?? 21 11，則二次型 f(x1， x2)=xTAx是（ B ） 二、填空題（本大 題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） A 為三階方陣且 |A|=3，則 |2A|=__24_________. ? =（ 1， 2， 3），則 |? T ? |=____0_______. A= ??????????200030021，則 A*=6 4 00 2 00 0 3?? ?? ?? ?? ??? A 為 4 5 的矩陣，且秩（ A） =2，則齊次方程 Ax=0 的基礎(chǔ)解系所含向量 的個數(shù)是 ______3_____. 08 年 1 月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 15 1? =（ 1， 0， 2）， 2? =（ 3， 0， 7）， 3? =（ 2， 0， 6） . 則 321 , ??? 的秩是 _____2______. x1+x2x3=1 的通解是 12( 1 , 0 , 0) ( 1 , 1 , 0) ( 1 , 0 , 1 )T T Tkk? ? ? ? ? A 滿足 3E+AA2=0，則 11 ()3A A E? ?? A 的三個特征值為 1， 2， 3. 則 |A+E|=_24__________. 19. 設(shè)α與β的內(nèi)積（α，β） =2，‖β‖ =2，則內(nèi)積（ 2α +β， β） =___8________. A= ????????????221201113所對應(yīng)的二次型是 221 3 1 2 1 3 2 33 2 2 2 4x x x x x x x x? ? ? ? 三、計算題 21．計算 6 階行列式 100200010000001000202000000003000021=18 22．已知 A= ?????? 31 52， B= ?????? ?34 21， C= ?????? ?25 12， X 滿足 AX+B=C，求 X. 2813X ????????? 23．求向量組 1? =（ 1， 2， 1， 3）， 2? =（ 4， 1， 5， 6）， 3? =（ 1， 3， 4， 7）的秩和其一個極大線性無關(guān)組 . 1 4 1 1 4 12 1 3 0 9 51 5 4 0 0 03 6 7 0 0 0? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 秩為 2，極大無關(guān)組為 1? ， 2? 24．當(dāng) a, b 為何值時，方程組 ???????????????3bx)2a(x3x21xx1xxx32132321 有無窮多解？并求出其通解 . 1, 0ab?? ? 時有無窮多解。通解是 ( 0 ,1, 0) ( 2 ,1,1 )TTk? ? ? ? 25．已知 A= ?????? ?117 13，求其特征值與特征向量 . 特征值 4, 10????， 4?? 的特征向量 (1, 1)Tk ? , 10?? 的特征向量 (1, 7)Tk ? 08 年 1 月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 16 A= ??????? ?21 12，求 An. 1 3 1 312 1 3 1 3nnnA ????? ?????? 四、證明題（本大題共 1 小題， 6 分） 27．設(shè) ? 為 Ax=0 的非零解， ? 為 Ax=b(b? 0)的解，證明 ? 與 ? 線性無關(guān) . 證明： 1212122221 2 1 1()00kkA k k Ak A k Akkkk k k k??? ? ?????? ? ?? ? ? ? ? ?α β 0α β 00α β0bb0α β 0 α 0 所以 ? 與 ? 線性無關(guān)。 23．求齊次線性方程組 ?????????????????0553204420432143214321xxxxxxxxxxxx的一個基礎(chǔ)解系 . 解：系數(shù)矩陣 A=??????????541541321211? ??????????031031011001? ?????????? ??032032010001得同解方程組 ??? ??? ??432431 33 22 xxx xxx再令 ??? ????? ?? 10,014343 xxxx得基礎(chǔ)解系：.1032,0132?????????????????????????????? A=,?????????????2100 110011B= ??????????011021，又 AX=B，求矩陣 X. 解：由于 0?A ，故 A 可逆。 A= ??????????300320321的特征值和特征向量 . 解：令 A?I? =0300320321??????????即3210)3)(2)(1( 321 ??????? ?????? ，得特征值 ? ? 即代入將 0AI11 ?? x??)0k(001k0010200310320111 ?????????????????????????????????????的特征向量為，故系解此方程組得其基礎(chǔ)解 ?x； 同理 ? ? 為得相應(yīng)的特征向量分別代入將 0AI32, 32 ??? x???)0k(012k 22 ???????????，)0k(1329k 33 ????????????? 四、證明題（本大題共 1 小題， 6 分） 27．設(shè)向量 組α 1，α 2，α 3 線性無關(guān)，證明：向量組α 1+2α 3，α 2α 3，α 1+2α 2 線性相關(guān) . 證： ?1?設(shè) α 1+2α 3 ， ?2? α 2α 3， ?3? α 1+2α 2 08 年 1 月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 20 ? ? ? ?321321 ?????? ?則??????????? 012210101，記 A=??????????? 012210101得 0A? ，由于向量組α 1，α 2，α 3 線性無關(guān)，故 1? ， 2? ， 3? 線性相關(guān)，即α 1+2α 3，α 2α 3，α 1+2α 2 線