【正文】 簡化階梯形矩陣易見B的秩為4，A的秩為4，從而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相應(yīng)地為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，而且（四）向量空間 1． 向量空間及其子空間的定義定義1 n維實(shí)列向量全體（或?qū)嵭邢蛄咳w）構(gòu)成的集合稱為實(shí)n維向量空間，記作定義2 設(shè)V是n維向量構(gòu)成的非空集合，若V對于向量的線性運(yùn)算封閉，則稱集合V是的子空間，也稱為向量空間.2． 向量空間的基與維數(shù)設(shè)V為一個(gè)向量空間，它首先是一個(gè)向量組，把該向量組的任意一個(gè)極大無關(guān)組稱為向量空間V的一個(gè)基，把向量組的秩稱為向量空間的維數(shù).顯然，n維向量空間的維數(shù)為n，且中任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都是的一個(gè)基.3． 向量在某個(gè)基下的坐標(biāo)設(shè)是向量空間V的一個(gè)基，則V中任一個(gè)向量都可以用唯一地線性表出，由r個(gè)表出系數(shù)組成的r維列向量稱為向量在此基下的坐標(biāo).第四章 線性方程組（一） 線性方程組關(guān)于解的結(jié)論定理1 設(shè)為n元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是定理2 當(dāng)n元非齊次線性方程組有解時(shí)，即時(shí)，那么（1）有唯一解；（2）有無窮多解.定理3 n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是推論1 設(shè)A為n階方陣，則n元齊次線性方程組有非零解推論2 設(shè)A為矩陣，且，則n元齊次線性方程組必有非零解（二）齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間首先對任一個(gè)線性方程組，我們把它的任一個(gè)解用一個(gè)列向量表示，稱為該方程組的解向量，也簡稱為方程組的解.考慮由齊次線性方程組的解的全體所組成的向量集合顯然V是非空的，因?yàn)閂中有零向量，即零解，而且容易證明V對向量的加法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算封閉，即解向量的和仍為解，解向量的倍數(shù)仍為解，于是V成為n維列向量空間的一個(gè)子空間，我們稱V為方程組的解空間（三）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解把n元齊次線性方程組的解空間的任一個(gè)基，稱為該齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.當(dāng)n元齊次線性方程組有非零解時(shí)，即時(shí)，就一定存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系中所含有線性無關(guān)解向量的個(gè)數(shù)為求基礎(chǔ)解系與通解的方法是：對方程組先由消元法，求出一般解，再把一般解寫成向量形式，即為方程組的通解，從中也能求出一個(gè)基礎(chǔ)解系.　　 例1 求的通解　　解：對系數(shù)矩陣A，作初等行變換化成簡化階梯形矩陣：，有非零解，取為自由未知量，可得一般解為寫成向量形式，令，為任意常數(shù)，則通解為可見，為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.（四）非齊次線性方程組1． 非齊次線性方程組與它對應(yīng)的齊次線性方程組（即導(dǎo)出組）的解之間的關(guān)系設(shè)為一個(gè)n元非齊次線性方程組，為它的導(dǎo)出組，則它們的解之間有以下性質(zhì)：性質(zhì)1 如果是的解，則是的解性質(zhì)2 如果是的解，是的解，則是的解由這兩個(gè)性質(zhì)，可以得到的解的結(jié)構(gòu)定理：定理 設(shè)A是矩陣，且，則方程組的通解為其中為的任一個(gè)解（稱為特解）,為導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.　　2．求非齊次線性方程組的通解的方法對非齊次線性方程組，由消元法求出其一般解，再把一般解改寫為向量形式，就得到方程組的通解.　　 例2 當(dāng)參數(shù)a，b為何值時(shí)，線性方程組有唯一解？有無窮多解？無解？在有無窮多解時(shí)，求出通解.　解：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換，把它化成階梯形矩陣：