【正文】 ② c＜ 0,1d＜ 0,即 c＜ 0,d＞ 1. 再由條件（ 1）（ 5）及（ 6）可知 從而，當 c＞ 0,d＜ 1 且時，或者當 c＜ 0,d＞ 1 且時，原方程有解，它的解是 六．（本題滿分 16分） 1．設，實系數(shù)一元二次方程有兩個虛數(shù)根 z1, z1,z2 在復平面內的對應點是 Z1， Z2 求以 Z1， Z2 為焦點且經過原點的橢圓的長軸的長（ 7 分） 2．求經過定點 M（ 1， 2），以 y 軸為準線，離心率為的橢圓的左頂點的軌跡方程（ 9分） 解： p,q為實數(shù)， z1,z2為虛數(shù)，所以 由 z1,z2為共軛復數(shù)，知 Z1， Z2 關于 x軸對稱， 所以橢圓短軸在 x軸上又由橢圓經過原點， 可知原點為橢圓短軸的一端點 根據橢圓的性質，復數(shù)加、減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關系，可得橢圓的 短軸長 =2b=|z1+z2|=2|p|, 焦距離 =2c=|z1z2|=, 長軸長 =2a= 為橢圓經過點 M（ 1， 2），且以 y軸為準線，所以橢圓在 y軸右側，長軸平行于 x軸 設橢圓左頂點為 A（ x,y），因為橢圓的離心率為， 所以左頂點 A到左焦點 F的距離為 A到 y軸的距離的， 從而左焦點 F的坐標為 設 d 為點 M到 y軸的距離，則 d=1 根據及兩點間距離公式，可得 這就是所求的軌跡方程 七．（本題滿分 15分） 在△ ABC中，∠ A，∠ B，∠ C所對的邊分別為 ,b,c，且 c=10， ， P 為△ ABC 的內切圓上的動點求點 P到頂點 A， B， C 的距離的平方 和的最大值與最小值 解：由，運用正弦定理，有 因為 A≠ B，所以 2A=π 2B，即 A+B= 由此可知△ ABC是直角三角形 由 c=10， 如圖，設△ ABC的內切圓圓心為 O＇，切點分別為 D， E， F，則 Y B（ 0， 6） D E O＇ P（ x,y) X O C（ 0， 0） A（ 8， 0） AD+DB+EC=但上式中 AD+DB=c=10， 所以內切圓半徑 r=EC=2. 如圖建立坐標系， 則內切圓方程為 : (x2)2+(y2)2=4 設圓上動點 P的坐標為 (x,y),則因為 P點在內切圓上，所以， S 最大值 =880=88， S 最小值 =8816=72 解二：同解一，設內切圓的參數(shù)方程為 從而 因為，所以 S 最大值 =80+8=88， S 最小值 =808=72 八．（本題滿分 12分） 設＞ 2，給定數(shù)列 {xn},其中 x1=,求證： 1． 2． 3． 1．證：先證明 xn＞ 2(n=1,2,?）用數(shù)學歸納法 由條件＞ 2 及 x1=知不等式當 n=1時成立 假設不等式當 n=k(k≥ 1)時成立 當 n=k+1時，因為由條件及歸納假設知 再由歸納假設知不等式成立，所以不等式也成立從而不等式 xn＞2 對于所有的正整數(shù) n成立 (歸納法的第二步也可這樣證： 所以不等式 xn2(n=1,2,?）成立） 再證明由條件及 xn2(n=1,2,?）知 因此不等式也成立 （也可這樣證：對所有正整數(shù) n有 還可這樣證：對所有正整數(shù) n有 所以） 2．證一：用數(shù)學歸納法由條件 x1=≤ 3知不等式當 n=1時成立 假設不等式當 n=k(k≥ 1)時成立 當 n=k+1時，由條件及知 再由及歸納假設知，上面最后一個不等式一定成立，所以不等式也成立，從而不等式對所有的正整數(shù) n成立 證二：用數(shù)學歸納法證不等式當 n=k+1時成立用以下證法： 由條件知再由及歸納假設可得 3．證：先證明若這是因為 然后用反證法若當時，有則由第 1小題知 因此，由上面證明的結論及 x1=可得 即，這與假設矛盾所以本小題的結論成立 九．（附加題，本題滿分 10 分，不計入總分） ⌒ 如圖，已知圓心為 O、半徑為 1的圓與直線 L相切于點 A，一動點P 自切點 A 沿直線 L 向右移動時，取弧 AC 的長為，直線 PC 與直線 AO交于點 M 又知當 AP=時，點 P的速度為 V求這時點 M的速度 M O 1 D θ C A P L ⌒ 解：作 CD⊥ AM，并設 AP=x， AM=y，∠ COD=θ由假設， AC 的長為， 半徑 OC=1，可知θ 考慮 ∵△ APM∽△ DCM， 而 （有資料表明八四年試題為歷年來最難的一次） 第五篇： 85 屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試題及答案 1985年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試題及答案 考生注意：這份試題共八道大題，滿分 120 分第九題是附加題，滿分 10 分，不計入總分 一．（本題滿分 15 分）本題共有 5小題，每小題 都給出代號為 A，B， C， D 的四個結論，其中只有一個結論是正確的，把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對的得 3 分、不選，選錯或者選出的代號超過一個的（不論是否都寫在圓括號內），一律得 0分 （ 1）如果正方體 ABCDA＇ B＇ C＇ D＇的棱長為，那么四面體 A＇ABD 的體積是 （ D ) （ 2）的 （ A ） （ A）必要條件 （ B）充分條件 （ C）充分必要條件 （ D）既不充分又不必要的條件 （ 3）在下面給出的函數(shù)中，哪一個函數(shù)既是區(qū)間上的增函數(shù)又是以π為周期的偶函數(shù)？ （ B ） （ A） （ B） （ C） （ D） (4)極坐標方程的圖象是 （ C ） (A) O X (C) O X (B) O X (D) O X （ 5）用 1， 2， 3， 4， 5這五個數(shù)字，可以組成比 20210大，并且百位數(shù)不是數(shù)字 3的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，共有 （ B ）