【正文】 ?xg 在 R 上恒成立， 故 函 數(shù) g(x) 在 R 上 為 增 函 數(shù). 2 當(dāng) 4 4 0 ,k? ? ? ? 即 當(dāng) k=1 時(shí) ， 222( 1 )( ) 0 ( 0 )()xexg x xxk?? ? ? ?? 1?k 時(shí)， )(xg 在 R 上為增函數(shù) . 3 當(dāng) ,044 ?? k 即 10 ??k 時(shí)， 方程 2 20x x k? ? ? 有兩個不相等實(shí)根 , 121 1 , 1 1x k x k? ? ? ? ? ?. 當(dāng) ( , 1 1 ) ( ) 0 , ( ) , 1 1 )x k g x g x k?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?是 故 在 （ 上 為 增函數(shù) . 當(dāng) 1 1 ,1 1x k k? ? ? ? ?（ ）時(shí)， ( ) 0,gx? ? 故 ( ) 1 1 ,1 1g x k k? ? ? ?在 （ ）上為減函數(shù) , 11xk? ? ? ?（ ， + ）時(shí)， ( ) 0,gx? ? 故 ( ) 1 1g x k? ? ?在 （ ， + ）上為增函數(shù) . 例 36（ 2020 年全國卷） 已知函數(shù) .11)( axexxxf ???? ??1 設(shè) 0?a ，討論 )(xfy? 的單調(diào)性； ??2 若對意 )1,0(?x 恒有 1)( ?xf ，求 a 的取值范圍 . 解 ??1 )(xf 的定義域?yàn)?)( ).,1()1,( xf對????? 求導(dǎo)數(shù)得 axex aaxxf ?? ???? 22 )1( 2)( . 1 當(dāng) 2?a 時(shí)， ),0,()(,)1( 2)( 22 ?????? ? 在xfexxxf x)1,0( 和 ),1( ?? 均大于 0，所以),1( ),1,()( ????在xf 為增函數(shù) . 2 當(dāng) ,20 時(shí)??a )(,0)( xfxf ?? 在 )1,(?? ， ),1( ?? 為增函數(shù) . 3 當(dāng) .12,02 ???? aaa 時(shí) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 25 令aaxaaxxf 2,2 ,0)( 21 ??????? 解得, 當(dāng) x 變化時(shí)， )()( xfxf 和? 的變化情況如下表 x )2,( aa???? )2,2( aaaa ??? )1,2( aa? ),1( ?? )(xf? + － + + )(xf ↗ ↘ ↗ ↗ ),1,2( ),2,()( aaaaxf ?????在 ),1( ?? 為增函數(shù) , )2,2()( aaaaxf ???在 為減函數(shù) . ??1 當(dāng) 20 ??a 時(shí)，由 ??1 知：對任意 )1,0(?x 恒有 .1)0()( ?? fxf ??2 當(dāng) 2?a 時(shí)，取 )1,0(2210 ??? aax，則由 ??1 知 .1)0()( ?? fxf ??3 當(dāng) 0?a 時(shí)，對任意 )1,0(?x ，恒有 1111 ???? ?axexx 且 ， 得 .11111)( ??????? ? xxexxxf ax 綜上當(dāng)且僅當(dāng) ]2,(???a 時(shí)，對任意 )1,0(?x 恒有 .1)( ?xf 6 小結(jié) 微積分在解決數(shù)學(xué)問題中 有更廣泛的用途， 本文主要?dú)w納了微積分在在解救高中數(shù)學(xué)那個的幾種方法 ，也需要更全面地探索 應(yīng)用方法 ．高中階段微積分的應(yīng)用是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價(jià)值，既給學(xué)生提供了一種新的方法，又給學(xué)生提供了一種重要的思想，也為今后進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)．相對于對代數(shù)和幾何等經(jīng)典內(nèi)容已經(jīng)臻于完善的教學(xué)研究，微積分的教學(xué)研究還不成熟，處于摸索的階段．但也正因?yàn)槿绱?，探討微積分的教學(xué)才更有價(jià)值和意義 . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 26 參考文獻(xiàn) [1] 劉紹學(xué)，錢佩玲 ， 章建躍等 .普通高等課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修 [M].北京： 人民教育出版社，2020. [2] 崔樹敬 .立體設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)選修 [M].蘭州： 甘肅教育出版社， 2020 [3] 任志鴻，齊玉娟，李波 等 . 十年高考 [M]. 南方出版社， 2020. [4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)編 . 數(shù)學(xué)分析 （ 第三版上 ） [M]. 北京 : 高等教育出版社 , 2020 [5] 陳少真 .高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ) [M].北京 :科學(xué)出版社 ,2020 [6] 顏松遠(yuǎn) .微積分學(xué) [M].北京 :清華大學(xué)出版社 ,2020 [7] 孫淑玲 .應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算 [M].北京 :清華大學(xué)出版社 ,2020 [8] 陳魯生 ,沈世鎰 .五年制高等職業(yè)教育教材數(shù)學(xué) [M].北京 :科學(xué)出版社 ,2020 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 27 致 謝 在經(jīng)過將近半年的努力后 ,本畢業(yè)論文即將告以尾聲 ,本文從選題到資料的收集以及撰寫過程都經(jīng)過精心地考慮、仔細(xì)地查閱和細(xì)心的修改 .在此 ,我首先要感謝我的指導(dǎo)教師謝保利老師 ,不管是論文的選題還是撰寫 ,以及資料的查閱等方面 ,他都給了我莫大的幫助與啟發(fā) ,尤其是在論文的幾次修改過程中 ,謝老師以他廣博的學(xué)識、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和耐心的指導(dǎo)態(tài)度才使我的論文順利完成 .再次謹(jǐn)向謝老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意 . 同時(shí) ,我要對編撰本論文參考文獻(xiàn)的所有學(xué)術(shù)專家和老師致以真摯的謝意 ,是他們出版的書籍與發(fā)表的學(xué)術(shù)論文給了我很 大的啟示與指導(dǎo) ,才將論文完成 . 其次 ,我在即將畢業(yè)之前要感謝數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院所有的老師四年來對我的細(xì)心教育與培養(yǎng) ,讓我在四年的學(xué)習(xí)生涯中不僅學(xué)到了扎實(shí)的專業(yè)知識 ,而且他們的言傳身教使我受益非淺 ,他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和耐心教導(dǎo)學(xué)生的精神也是我永遠(yuǎn)學(xué)習(xí)的榜樣 ,并將積極影響著我今后的學(xué)習(xí)和工作 . 最后我還要感謝我的學(xué)校 —— 天水師范學(xué)院四年來對我的栽培 . 。 xf 0? 此時(shí) )(xf 在定義域上也是增函數(shù) . ??3 當(dāng) 082 ??a 時(shí)，即 22?a , 方程 0)(?xg 有 兩 個 不 同 的 實(shí) 根1x ? 2 82 ?? aa ? 2x 2 82 ?? aa ( 0? 1x ? 2x ) x （ 0，1x ） 1x （ 1x ， 2x ） 1x ),( 2 ??x 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 23 )(xF ? 0 ? 0 ? )(xF 單調(diào)遞增 極大 單調(diào)遞減 極小 單調(diào)遞增 例 34（ 2020 海南、寧夏卷理） 由直線 21?x ， 2?x ，曲線 xy 1? 及 x 軸所圍圖形的面積是（ ） A． 415 B． 417 C． 2ln21 D． 2ln2 解 2ln21ln2ln|ln1 221221 ????? ? xdxxA 則此區(qū)域的面積，故選 D． 【規(guī)律方法】 如果平面區(qū)域是區(qū)間 ],[ ba 上的兩條連續(xù)曲線 )(xfy? 與 )(xgy? （相交）及直線 bxax ?? , 所圍成的，它的面積為 ? ?? ba dxxgxfA |)()(| . 例 35 （ 09 重慶） 設(shè)函數(shù) 2( ) ( 0)f x ax bx k k? ? ? ?在 0x? 處取得極值，且曲線()y f x? 在點(diǎn) (1, (1))f 處的切線垂直于直線 2 1 0xy? ? ? ． ??1 求 ,ab的值； ??2 若函數(shù) () ()xegx fx? ，討論 ()gx的單調(diào)性． 解 ??1 因 2( ) ( 0 ) , ( ) 2f x a x b x k k f x a x b?? ? ? ? ? ?故, 又 ()fx在 0?x 處取得極限值，故 ( ) 0,fx? ? 從而 0b? . 由曲線 y= ()fx在 ))1(,1( f 處的切線與直線 2 1 0xy? ? ? 相互垂直可知 , 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 24 該切線斜率為 2 ，即 . ,2)1(39。 xf 然后按 a 的取值范圍分類，討論 )(xf 的單調(diào)性 . 解 )(xf 的定義域是 ).0( ?? ,222 221)( xaxxxaxxf ??????? 設(shè) )(xg = 22 ??axx ，次方程 0)( ?xg 的判別式 82??? a . ??1 當(dāng) 082 ???? a 時(shí)，即 ??a0 22 時(shí)對一切 )(xf ，有 )(39。39。 ??2 設(shè) xxxg ??? )1ln()( ,類似可證 明 )(xg 在區(qū)間 (0 , + ∞) 內(nèi)從 0 開始單調(diào)減少 ,因此當(dāng) 0?x 時(shí) ,有 0)( ?xg ,即 xx ?? )1ln( . 綜上所述 ,可知 xx?1 ? )1ln( x? ? x )0( ?x . 例 30 證 明不等式 )lnln( yyyx ? ? 2ln)( yxyx ?? x( ? y,0 ? yx?,0 ). 證 構(gòu)造函數(shù) xxxf ln)( ? , ),0( ???x ,則 ?)(39。 11)( zzf ?? ,又 ξ∈ )1,1(? ,根據(jù)微分中值定理的條件 ,有 arcsin arcsinxyxy??=211 ?? ,而211 ?? 1? ,因此｜arcsin arcsinxy? ｜ ? ｜ yx? ｜ . 【規(guī)律方法】 如果要證明的不等式或?qū)⒁C明的不等式簡單變形后 ,與微分中值公式的結(jié)構(gòu)有相似性 ,就可以利用微分中值定理來證明 ,采用這種方法要注意的是構(gòu)造一個輔助函數(shù) ,然后利用公式證明 . 例 29 當(dāng) 0?x 時(shí) ,證明不等式 xx?1 ? xx ?? )1ln( . 證 ??1 令函數(shù) )1ln()( ?? xxf ? xx?1 ,因?yàn)楫?dāng) 0?x 時(shí) , 39。??gfagbg afbf ???. 例 27 已 知 0??ab , 證明 bab? ? abln ? aab? . 證 設(shè) xxf ln)( ? , 它在 ? ?ba, （ a ? 0 ）上連續(xù)且可導(dǎo) , ,1)(39。 ?f 或)( )()()( )()( 39。f ? ) 0? . 定理 3（柯西中值定理）設(shè)函數(shù) )(xf ， )(xg 滿足條件 ??1 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)； ??2 在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)均可導(dǎo)且 )(39。 如圖 解 兩 條曲線的交點(diǎn)是 ? ?0,0 與 ??1,1 ，則此區(qū)域的面積 【規(guī)律方法】 定積分還可以用來求曲線的弧長、求旋轉(zhuǎn) 體的體積，雖然教材不作 為教學(xué)內(nèi)容，但可以向?qū)W生滲透一些思想． 5 綜合應(yīng)用 微積分在求解函數(shù)的極值、最值、單調(diào)區(qū)間等方面都有重要應(yīng)用，下面來通過幾道例題探究 例 26 設(shè) 12( ) s i n s i n 2f x a x a x? ? ?…+ sin ,na nx 已知 ( ) sin ,f x x? 證明122 ... a na? ? ? 證 （方法一） 因?yàn)?(0) 0,f ? 由已知 ( ) ( 0 ) s in ( 0 )0f x f x xxx? ???, ? ? ? ? ? ? 1010 0lim 0 ??????? fx fxfx, 即 122 ... a na? ? ? 導(dǎo)數(shù)的定義是微積分的基礎(chǔ)，此題還可運(yùn)用兩個重要極限及變形進(jìn)行證明 . （方法二） 由 ( ) sin ,f x x? 得 ( ) s in ( 0 ),f x x xxx?? 即 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 18 12s i n s i n 2 s i n s i n... nx x n x xa a ax x x x? ? ? ? .兩端同時(shí)取 x→0 時(shí)的極限得 limx?? 12s i n s i n 2 s i n... nx x n xa a ax x x? ? ? ?limx?? sinxx . 由重要極限及其變形知 0sinlim