【正文】 例如 RLC 單口網(wǎng)路的端口電壓 )(sU 和 電流 )(sI ，其中一個為激勵變數(shù)，另一個為回應(yīng)變數(shù)，它們之比，即系統(tǒng)函數(shù) )(sH 就有兩種情況： 若 )(sU 為回應(yīng)變數(shù)， )(sI 為激勵變數(shù)，則系統(tǒng)函數(shù)為 )()( )()(1 sZsI sUsH ?? 這時系統(tǒng)函數(shù) )(1sH 就是這個單口網(wǎng)路 (即系統(tǒng) )的輸 入阻抗。系統(tǒng)函數(shù) H(s) 僅與系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)，與激勵 (包括初始值 ) 和回應(yīng)的形式無關(guān)。對式 () 兩邊進行拉氏變換得： )()()()( )()()()( 0111 0111sFbssFbsFsbsFsb sYassYasYsasYsa mmmmnnnn???????? ??????? ???? 整理上式得： ??? )( )()( )()( sF sYsF sYsH f asasaa bsbsbsb nnnnmmmm01110111 ...... ???? ???? ???? () 式中 )(sYf 為系統(tǒng)零狀態(tài)回應(yīng)， )(sH 為系統(tǒng)函數(shù)， n≥ m。對這類 )(sF 進行分解時，首先假設(shè)存在著常數(shù) 131211 kkk 、 ，使得 )(sF 的展開式中包含如下與 1p有關(guān)的 3項，即 ?? ???????? ni iips kps kps kps ksF 231112112113 )()()()( () 現(xiàn)在的問題是如何確定 131211 kkk 、 。若 D(s)=0 有一對共軛複根， ?? japjap ???? 21 , 則有 ? ?? ?? ?? ????????jsjasjasjassDsNsFjasksDsNsFjask????????????????)()()()()()(/2/1 由於 )(sF 是實係數(shù)多項式之比，故 21,kk 必為共軛複數(shù)。這些係數(shù)可以按下述方法確定，把上式兩邊都乘以 ? ?1ps? ，得 ? ? ? ? ???????? ????????npskps kpsksFps n?22111 )( 令 1ps? ，則等式除第一項外都變?yōu)榱?，這樣就求得 1)]()[( 11 pssFpsk ??? 同理可求得 nkkk ，、 ?32 。 D(s)=0 有 n個單根的情況 設(shè) n 個單根分別為 nppp ， ?21 。 用部分分式展開有理分式 )(sF ，首先必須求出 D(s)=0 的根。上式中的 A 是一個常數(shù)，其對應(yīng)的時間函數(shù)為 )(tA? 。 用部分分式展開有理分式 )(sF 時，第一步是把有理分式化為真分式。對此形式的象函數(shù)可以用部分分式展開法 (或稱為分解定理 )將其表示為許多簡單分式之和的形式，而這些簡單項的反變換都可以在拉氏變換表中找到。 對線性系統(tǒng)而言，回應(yīng)的象函數(shù) )(sF (在本節(jié)中，無論是輸入信號還是輸出信號的象函數(shù)均用 )(sF 表示 )常具有有 理分式的形式，它可以表示為兩個實係數(shù)的 s 的多項式之比，即 asasasabsbsbsbnnnnmmmmsDsNsF0......)()()(1110111?????????????? () 式中的 m 和 n 為正整數(shù)，且 mn? 。求拉氏反變換最簡單的方法是利用拉氏變換表，但它只適用於有限的一些簡單變換式，而從系統(tǒng)求得的象函數(shù)一般並非表中所列的形式。例如，當(dāng) )(tf 為週期函數(shù)時，終值定理就不適應(yīng)了。因此，這個定理只適應(yīng))(?f 存在的情況。 終值定理敘述如下： 若 )()()( sFttf ?? ，且 )(ssF 的收斂域包括 ?j 軸，則 )(tf 的終值為 )()( lim0 ssFf s??? () 用式 () 計算 )(tf 的終值時，當(dāng) s=0 時， )(ssF 不能無限大，因此，要求 )(ssF的收斂域包括 ?j 軸。 另外，如果 )0( ?f 不存在，但 )(lim ssFs ??也可能存在。 應(yīng)該注意：無論拉氏變換中積分限所規(guī)定的是 ?0 、 0 還是 ?0 ，用式 () 求)(tf 的始值必定為 )0( ?f 。 積分定理 若 )()( sFtf ? 則 ssFdft )()(0 ?? ? ?? () 證明 : 由拉氏變換定義得： L dtedfdf sttt ??? ?? ? ?? ????????????? 0 00 )()( ???? 利用分部積分公式，令 dvdtedfu stt ?? ??? ,)(0 ?? 則 stesvdfdu ???? 1,)( ?? 故 L ??? ?? ?? ? ??? ????????? 00 00 )(1)()( dtetfsdfsedf sttstt ???? 上式前項當(dāng) ??t 時 ,因 0??ste 而為零；當(dāng) ??0t 時 , 0)(00 ?? ?? ?? df，故第一項為零；所以 ssFdft )()(0 ?? ? ?? 卷積定理 若 )()( )()( 22 11 sFtf sFtf ?? 則 )()()()( 2121 sFsFtftf ?? () 證明 : 從卷積與拉氏變換定義出發(fā)，則有 L ? ? ? ? dtedtfftftf st?? ?? ? ???0 0 2121 )()()()( ??? 令 , )( dxdteeeext sxsxsst ?????? ????? ??? 則 於是有 ? ?)()()()()()(210 20 10 0 21sFsFdxexfdefdxdeexffsssxs?? ??? ?? ?? ??? ? ???????? 卷積定理的重要應(yīng)用之一是用於系統(tǒng)分析。 微分定理 若 )()( sFtf ? 則 )0()()(/ ??? fssFtf () 進而有 )0( ...)0()0()()( )1(/21)(??????? ????n nnnnf fsfssFstf () 證明： 由拉氏變換定義 ? ?)()0())(()()()(0000/ssFfdtestfetftfdedtetfstststst??????????????????????? 對於 )(tf 的二階導(dǎo)數(shù) )(// tf 的變換式可以應(yīng)用式 ()求得如下 ? ? ? ? )0()0()()( //?? ???? ffssFstfdtd 即 )0()0()()( /2// ?? ??? fsfsFstf 如反復(fù)運用上述方法就可得出 )0(...)0()0()()( )1(/21)( ?????? ????? nnnnn ffsfssFstf 如果 )(tf 為一有始函數(shù)，則 )0(...)0()0( 1/ ???? ）（、 nfff 均為零，於是式 ()和 ()可簡化為 )()(/ ssFtf ? () )()()( sFstf nn ? 例如 )()( tn? 的拉氏變換為 nn st ?)()(? 應(yīng)用拉氏變換的時域微分定理可將時域內(nèi)的微分方程轉(zhuǎn)化為 s 域內(nèi)的代數(shù)方程，並且使系統(tǒng)的初始條件 ...)0()0()0( /// 、 ??? fff ，很方便地歸併到變換式中去，再對 s 域的代數(shù)方程求解後，就可以通過反變換直接求出系統(tǒng)的全回應(yīng)。 複頻移特性 若 )()( sFtf ? 則 )()( 00 ssFetf ts ??? () 證明： L ? ? )()()()(00 )(0 000 ssFdtetfdteetfetf tsssttsts ?? ??? ?? ? ?? ??? 該性質(zhì)表明：時間函數(shù)乘以 tse0? ，其變換式在 s 域內(nèi)移動 0s? 。設(shè) )(tf 為如圖 所示的單邊週期信號，則可將 )(tf 分解表示為 . . .)()()()( 321 ???? tftftftf 式中 )(1tf 為第一週期波形的函數(shù)運算式， )(2tf 為第二週期波形的函數(shù)運算式，其餘類推。 )(4sF 的結(jié)果表明， )()()( 004 tttttf ??? ?正是 )(tt? 沿 t 軸向右平移 0t 所得的信號，如圖 所示。在使用這一性質(zhì)時，要注意區(qū) 分下列不同的四個時間函數(shù)：)()()()()()()( 00000 ttttftttftttfttf ????? ??? 和；； 。除前面已討論的線性性質(zhì)外，還有一些重要性質(zhì)分別討論如下。 常用函數(shù)的拉氏立變換 原函數(shù) )(tf 象函數(shù) )(sF 原函數(shù) )(tf 象函數(shù) )(sF )(t? )(/ t? )(t? t nt )(teat?? )(tteat?? )()1( te at ??? 1 s s1 21s 1!?nsn as?1 2)( 1as? )( ass a? t?sin t?cos te at ?sin? te at ?cos? )(1 btat eeba ?? atm etmK ??? 1)!1( 22 ???s 22 ??s s 22)( ?? ??as 22)( ??? ?as as ))(( 1 bsas ?? mas K)( ? 拉氏變換的性質(zhì) 拉氏變換建立了信號在時域和複頻域之間的對應(yīng)關(guān)係，故變換本身的一些重要性質(zhì)能夠反映信號的時域特性和複頻域特性間的聯(lián)繫。式 ()和 ()可記為 ?)(sF L )]([ tf ?)(tf L — 1 )]([ sF 上述變換的對應(yīng)關(guān)係也經(jīng)常簡記為 )()( sFtf ? 拉氏變換也是線性積分變換，因此有線性性質(zhì) ，即 )()()()(22112211 sFasFatfatfa ??? () 常用信號的拉普拉斯變換 以下用定義式 ()計算一些常用信號的拉氏變換。 如果 )(sF 已知，可求出它對應(yīng)的原時域函數(shù) )(tf 。 從上式可見，一個時域函數(shù)的拉氏變換 存在的條件為該式右端的積分為有限值，即要求 ??? ? ??0 )( dtetf st 由於 eee ttjtst e ??? ???? ?? . 故對某些值 ? ，只要使得 0)(lim ???? etftt? 則 F(s)必然存在。它把原函數(shù) )(tf 乘以 est? 再對 t 進行積分，其結(jié)果成為複變數(shù) s 的復(fù)函數(shù) )(sF ，即拉氏變換是把時域內(nèi)的函數(shù) )(tf 變換到 s 域內(nèi)的複變函數(shù)