【正文】 ABAC＞ PBPC 延長 AC 至 E，使 AE=AB，連結(jié) PE。 即 ∠ A+∠ C=180176。 ∴ BQ=QC ∴ BQ+AQ=AQ+QC=AC ∴ BQ+AQ=AB+BP 角平分線 如圖，在四邊形 ABCD中， BC＞ BA,AD＝ CD， BD平分 ABC? ， 求證： 0180???? CA 延長 BA,作 DF⊥ BA 的延長線，作 DE⊥ BC ∵∠ 1=∠ 2 ∴ DE=DF（角分線上的點到角的兩邊距離相等） ∴ 在 Rt△ DFA 與 Rt△ DEC 中 ｛ AD=DC,DF=DE} ∴ Rt△ DFA≌ Rt△ DEC（ HL) ∴∠ 3=∠ C 因為 ∠ 4+∠ 3=180176。 ∴∠ APB=∠ APM 又 ∵ AP 是 BAC 的角平分線， ∴∠ BAP=∠ MAP AP 是公共邊 ∴△ ABP≌△ AMP(角邊角） ∴ AB=AM， BP=MP 在 △ MPC 中， ∠ MCP=∠ MPC=40176。— 40176。— ∠ QBC（同位角相等）=180176。— ∠ APB— ∠ MPC=180176。=70176?！?30176。 （首先算清各角的度數(shù)） ∵∠ APB=180176。AB＝ AC+BD 在 AB 上取點 N ,使得 AN=AC ∠ CAE=∠ EAN ,AE 為公共邊 ,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN 所以 ∠ ANE=∠ ACE 又 AC 平行 BD 所以 ∠ ACE+∠ BDE=180 而 ∠ ANE+∠ ENB=180 所以 ∠ ENB=∠ BDE ∠ NBE=∠ EBN BE 為公共邊 ,所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD 如圖，已知在 ABC 內(nèi)， 060BAC??， 040C?? ， P， Q 分別 在 BC， CACDBA新人教版八年級數(shù)學上冊教案設計 (全冊 ) 29 DCBA上，并且 AP， BQ分別是 BAC? ， ABC? 的角平分線?！镜妊切稳€合一】 ∵ AB=2AC ∴ AE=AC 又 ∵∠ EAD=∠ CAD【 AD 平分 ∠ BAC】 AD=AD ∴⊿ AED≌⊿ ACD（ SAS） ∴∠ C=∠ AED=90186。 證 明 ： 在 DN 上 截 取 DN=DB ， 連 接 NE ， NF 。 求證： BE+CFEF。 證明：延長 AD 至 E，使 DE=AD，連接 BE， CE。 教學理念 /反思 全等三角形問題中常見的輔助線的作法 常見輔助線的作法有以下幾種： 1) 遇到三角形的 中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形， 利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”． 2) 截長法與補短法，具體做法是在某條 線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法 適合于證明 線段 的 和、差、倍、分 等類的題目． 3) 遇到等腰三角形 ，可作 底邊上的高 ，利用“ 三線合一 ”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”． 4) 遇到角平分線 ，可以自角平分線上的某一點向角的 兩邊作垂線， 利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理． 5) 過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是 全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊” 特殊方法 ：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答． 一、 倍長中線（線段）造全等 AB CDE3?圖新人教版八年級數(shù)學上冊教案設計 (全冊 ) 27 例 ：如圖 3 所示， AD 為 △ ABC 的中線， 求證： AB+AC2AD。 AB=AC，點 D 是 AB 的中點， AF⊥ CD 于 H 交 BC 于 F， BE∥ AC 交 AF 的延長線于 E，求證： BC 垂直且平分 DE. 如圖，已知， EG∥ AF，請你從下面三個條件中，再選出兩個作為已知條件，另一個作為結(jié)論，推出一個正確的命題。 ,AC=BC， BE⊥ CE， AD⊥ CE. 求證：△ ACD≌△ CBE. 如圖，在 R△ ABC 中，∠ ACB=45176。 教學重點 用三角形全等和角平分線的性質(zhì)進行證明有關(guān)問題 教學難點 靈活應用所學知識解決問題，精煉準確表達推理過程 教 學 互 動 設 計 設計意圖 一、知識結(jié)構(gòu)疏理 新人教版八年級數(shù)學上冊教案設計 (全冊 ) 23 ????????????直角三角形一般三角形判定方法性質(zhì)定義全等三角形、：、：、321 ??? ：、 ：、 判定性質(zhì)角的平分線 21 探究 三角形 全等的 條件 二、基本訓練 (1)能夠 的兩個圖形叫做全等形，能夠 的兩個三角形叫做全等三角形 . (2)把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做 ，重合的邊叫做 ，重合的角叫做 . (3)全等三角形的 邊相等，全 等三角形的 角相等 . (4) 對應相等的兩個三角形全等（邊邊邊或 ） . (5)兩邊和它們的 對應相等的兩個三角形全等（邊角邊或 ） . (6)兩角和它們的 對應相等的兩個三角形全等（角邊角或 ） . (7)兩角和其中一角的 對應相等的兩個三角形全等（角角邊或 ） . (8) 和一條 對應相等的兩個直角三角形全等（斜邊、直角邊或 ） . (9)角的 上的點到角的兩邊的距離相等 . ，圖中有兩對三角形全等，填空： (1)△ CDO≌ ，其中， CD的對應邊是 ， DO的對應邊是 ， OC的對應邊是 ； (2)△ ABC≌ ，∠ A的對應角是 ， ∠ B的對應角是 ，∠ ACB的對應角是 . ：對的畫“√”，錯的畫“179。 在 Rt△ PDO和 Rt△ PEO中， ,OP OPPD PE??? ?? ∴ Rt△ PDO≌ Rt△ PEO（ HL） ∴∠ AOC=∠ BOC， ∴ OC是∠ AOB的平分線． 【歸納】 到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上． 啟發(fā)、引導學生；組織小組之間的交流、討論；幫助“學困生”． 自主、合作、交流，在教師的引導下，比較上述兩個結(jié)論，弄清其條件和結(jié)論，加深認識． 三、應用遷移 鞏固提高 【例 1】 如圖，△ ABC的角平分線 BM， CN相交于點P，求證：點 P 到三邊 AB， BC， CA的距離相等． 【思路點撥】因為已知、求證中都沒有具體說明哪些線段是距離，而證明它們相等必須標出它們．所以這一段話要在證明中寫出，同輔助線一樣處理．如果已知中寫明點 P到三邊的距離是哪些線段，那么 圖中畫實線，在證明中就可以不寫． 證明：過點 P作 PD、 PE、 PF分別垂直于 AB、 BC、 CA，垂足為 D、 E、 F． ∴ BM是△ ABC的角平分線，點 P在 BM上． ∴ PD=PE 學生參與教師分析，主動探究學習． 新人教版八年級數(shù)學上冊教案設計 (全冊 ) 22 同理 PE=PF ∴ PD=PE=PF 即點 P到邊 AB、 BC、 CA的距離相等． 【評析】在幾何里，如果 證明的過程完全一樣，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略詳細證明過程． 三角形的三條角平分線相交于一點 ． 【例 2】 如圖，已知△ ABC 的外角∠ CBD 和∠ BCE的平分線相交于點 F，求證：點 F 在∠ DAE 的平分線上． 學生根據(jù)上一問題的解決過程獨立解決本問題，在必要時教師適當引導． 【練習】 課本Р 22 練習 四、總結(jié)反思 拓展升華 我們學習了關(guān)于角平分線的兩個性質(zhì)：①角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；②到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．它們具有互逆性，隨著學習的深入，解決問題越來越簡便了．像與角平分線有關(guān)的求證線段相等、角相等問題，我們可以直接利用角平分線的性質(zhì)，而不必再去證明三角形全等而得出線段相等． 五、課堂作業(yè) P22 3 4 5 6 教學理念 /反思 第 1011 課時 《全等三角形》小結(jié)與復習 教 學 目 標 掌握三角形全等的判定方法，利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式． 能用尺規(guī)進行一些基本作圖．能用三角形全等和角平分線的性質(zhì)進行證明。． 在 Rt△ ABC 和 Rt△ DEF 中， BC=EF， AC=DF，因此這兩個三角形是全等的，這樣∠ ABC=∠ DEF，所以∠ ABC與∠ DEF是互余的． 【練習】 課本Р 14 練習 參與教師分析，提出自己的見解． 這個問題涉及的 推理比較復雜，可以通過全班討論，共同解決這個問題，但不需要每個學生自己獨立說明理由，只要求學生能看懂三位同學的思考過程就可以了． 四、總結(jié)反思 拓展升華 我們有六種判定三角形全等的方法： 1．全等三角形的定義 2．邊邊邊（ SSS） 3．邊角邊（ SAS） 4．角邊角（ ASA） 5．角角邊（ AAS） ６．ＨＬ（僅用在直角三角形中） 五、課堂作業(yè) P16 7 8 13 教學理念 /反思 本節(jié)課通過動手操作，在合作交流、比較中共同發(fā)現(xiàn)問題， 培養(yǎng)直觀發(fā)現(xiàn)問題的能力，在反思中發(fā)現(xiàn)新知，體會解決問題的方法．通過今天的學習和對前面三角形全等條件的探求，可知判定直角三角形全等有五種方法． 第 8 課時 角的平分線的性質(zhì)（ 1） 教 學 目 標 1．通過作圖直觀地理解角平分線的性質(zhì)定理． 2．經(jīng)歷探究角的平分線的性質(zhì)的過程，領(lǐng)會其應用方法． 教學重點 領(lǐng)會角的平分線的性質(zhì)定理． 教學難點 角的平分線的性質(zhì)定理的實際應用． 教 學 互 動 設 計 設計意圖 一、創(chuàng)設情境 導入新課 在∠ AOB的兩邊 OA和 OB上分別取 OM=ON， MC⊥ OA， NC⊥ OB． MC與 NC交于 C點． 求證：∠ MOC=∠ NOC． 新人教版八年級數(shù)學上冊教案設計 (全冊 ) 19 通過證明 Rt△ MOC≌ Rt△ NOC，即可證明∠ MOC=∠ NOC，所以射線 OC就是∠ AOB的平分線． 受這個題的啟示，我們能不能這樣做： 在已知∠ AOB的兩邊上分別截取 OM=ON，再分別過 M、 N作 MC⊥ OA， NC⊥ OB， MC 與 NC交于 C點，連接 OC，那么 OC就是∠ AOB的平分線了． 思考：這個方案可行嗎？（學生思考、討論后，統(tǒng)一思想，認為可行） 議一議：下圖是一個平分角的儀器，其中 AB=AD， BC=DC．將點 A放在角的頂點，AB和 AD沿著角的兩邊放下，沿 AC畫一條射線 AE， AE就是角平分線．你能說明它的道理嗎？ 要說明 AC 是∠ DAC 的平分線，其實就是證明∠ CAD=∠CAB． ∠ CAD和∠ CAB分別在△ CAD和△ CAB中，那么證明這兩個三角形全等就可以了． 看看條件夠不夠． AB ADBC DCAC AC???????? 所以△ ABC≌△ ADC（ SSS）． 所以∠ CAD=∠ CAB． 即射線 AC就是∠ DAB的平分線． 首先將“問題提出”，然后運用教具（如課本圖 11． 3─ 1 ）直觀地進行講述，提出探究的 問題． 小組討論后得出：根據(jù)三角形全等條件“邊邊邊”判定法，可以說明這個儀器的制作原理． 二、合作交流 解讀探究 【探究 1】作已知角的平分線的方法： 已知：∠ AOB． 求作：∠ AOB的平分線． 作法： （ 1）以 O 為圓心，適當長為半徑作弧，分別交