【正文】 hx＞ 0， ∴ g(x)、 h(x)在 (0, ＋ ∞)上都是增函數(shù)， ∴ g(x)＞ g(0)＝ 0， h(x)＞ h(0)＝ 0， ∴ x＞ 0 時， ? ?ln 11x xxx ? ? ??． 令 1xn?則 (**)式成立， ∴ 111 nana????????＜ 1e＜ 11 nana???????， (3)由 (2)知 bn＝ 1n ，則 Tn＝ 1 1 11 23 n? ? ??????. 在 1 1 1ln 11n n n??? ? ???? ??中，令 n＝ 1， 2， 3， ， 2020，并將各式相加， 得 1 1 1 2 3 2 0 0 9 1 1 1l n l n l n 12 3 2 0 0 9 1 2 2 0 0 8 2 3 2 0 0 8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即 T2020－ 1＜ ln2020＜ T2020. 。hx＝? ?21xx?， ∵ x＞ 0， ∴ ??39。 0fx? , ??fx為增函數(shù) ,而 ? ?00f ? , 從而當 0x? 時 , ? ? 0fx? ,所 以當 0x? 時 , ? ? 0fx? 恒成立 . 綜上 , a 的取值范圍為 ? ?1,?? . (2)證明 : 由 (1)知 , 對于 ? ?0,1x? , 當 0a? 時 , ? ? 0fx? ,所以 1 xxe?? , 而當 2a? 時 , ? ? 0fx? ,所以 11xe x? ? , 從而 ? ?0,1x? 時 , 1 xxe?? 11 x? ? . 取 ? ?1 2xnn??,則 1 1 1111 111n nen n nn? ? ? ? ? ????. 23.(1) ()fx的定義域為 (0, )?? ， 當 1a? 時， ( ) lnf x x x?? ， 11( ) 1 xfx xx?? ? ? ? ， 所以 ()fx在 1x? 處取得極小值 1. (2) 1( ) lnah x x a xx?? ? ?， 22 2 21 ( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) ]( ) 1 a a x a x a x x ahx x x x x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ① 當 10a?? 時，即 1a?? 時，在 (0,1 )a? 上 ( ) 0hx? ? ，在 (1 , )a? ?? 上 ( ) 0hx? ? ， 所以 ()hx 在 (0,1 )a? 上單調遞減，在 (1 , )a? ?? 上單調遞增； ② 當 10a??，即 1a?? 時，在 (0, )?? 上 ( ) 0hx? ? ， 所以，函數(shù) ()hx 在 (0, )?? 上單調遞增 . (3)在 ? ?1,e 上 存在一點 0x ，使得 0()fx ? 0()gx 成立，即在 ? ?1,e 上存在一點 0x ， 使得 0( ) 0hx? ，即 函數(shù) 1( ) lnah x x a xx?? ? ?在 ??1,e 上的最小值小于零 . x (0,1) 1 (1, )?? ()fx? — 0 + ()fx 極小 23 由（ 2）可知 ① 當 1ea??，即 e1a??時， ()hx 在 ? ?1,e 上單調遞減， 所以 ()hx 的最小值為 (e)h ，由 1(e) e 0e aha?? ? ? ?可得 2e1e1a ?? ?， 因為 2e1e1e1? ???，所以 2e1e1a ?? ?； ② 當 11a??，即 0a? 時， ()hx 在 ? ?1,e 上單調遞增， 所以 ()hx 最小值為 (1)h ， 由 (1) 1 1 0ha? ? ? ? 可得 2a?? ； ③ 當 1 1 ea? ? ? ，即 0 e 1a? ? ? 時， 可得 ()hx 最小值為 (1 )ha? ， 因為 0 ln(1 ) 1a? ? ? ，所以， 0 ln(1 )a a a? ? ? 故 (1 ) 2 l n( 1 ) 2h a a a a? ? ? ? ? ?,此時， (1 ) 0ha??不成立 . 綜上討論可得所求 a 的范圍是： 2e1e1a ?? ?或 2a?? . 24.(1) ( ) sing x x? 是 R 上的 “平緩函數(shù)，但 2()h x x x??不是區(qū)間 R 的 “平緩函數(shù) ”； 設 ( ) sinx x x? ?? ，則 ( ) 1 cos 0xx?? ? ? ?,則 ( ) sinx x x? ?? 是實數(shù)集 R 上的增函數(shù)， 不妨設 12xx? ，則 12( ) ( )xx??? ，即 1 1 2 2si n si nx x x x? ? ?， 則 2 1 2 1si n si nx x x x? ? ?， ① 又 siny x x?? 也是 R 上的增函數(shù)，則 1 1 2 2si n si nx x x x? ? ?， 即 2 1 1 2si n si nx x x x? ? ?， ② 由 ①、 ②得 2 1 2 1 2 1( ) si n si nx x x x x x? ? ? ? ? ? 因此 2 1 2 1sin sinx x x x? ? ?，對 12xx? 的實數(shù)都成立， 又當 12xx? 時，不等式 2 1 2 1sin sin 0x x x x? ? ? ?， 故 對任意的實數(shù) 1x ， 2xR? 均 有 2 1 2 1sin sinx x x x? ? ? 因此 sinx 是 R 上的 “平緩函數(shù) . 由于 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( 1 )h x h x x x x x? ? ? ? ? 取 1 3x? ， 2 1x? ，則 1 2 1 2( ) ( ) 4h x h x x x? ? ? ?， 因此， 2()h x x x??不是區(qū)間 R 的 “平緩函數(shù) ”. (2)由 (1)得： sinx 是 R 上的 “平緩函數(shù)，則 2 1 2 1sin sinx x x x? ? ?， 所以 11n n n ny y x x??? ? ?，而 1 21(2 1)nnxx n? ?? ?， 所以 1 221 1 1 1 1()( 2 1 ) 4 4 4 1nnyy n n n n n? ? ? ? ? ?? ? ? 而 1 1 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n ny y y y y y y y y y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 1 1 1 1 2 2 1n n n n ny y y y y y y y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， 則11 1 1 1 1 1 1[ ( ) ( ) ( 1 ) ]4 1 1 2nyy n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ??? 因此 11 1 1 1(1 )4 1 4nyy n? ? ? ? ??. 24 25.(1)過 C：xy 1?上一點 ),( nnn yxA 作斜率為 nk 的直線交 C 于另一點 1?nA ， 則2111111111 ?????????????????nnnnnnnnnnnn xxxxx xxxx yyk ， 所以 1 21n nx x? ?? (2)因為 )3121(231211 ??????? nn xx，又 231211 ????x 所以數(shù)列 {3121 ??nx}是等比數(shù)列 . (3)由 (2)可 得 ：31)2( 12,)2( ?????? nnnn xa 則，31)1(2 12)1()1( ???????? nnnnn x. ①當 n 為偶數(shù)時有： ???? ?? nnnn xx )1()1( 11nnnnnnnnnnnn 21212222)312)(312(22312 1312 1 111111??????? ????? ?????? 12121212121)1()1()1( 432221 ????????????? nnn xxx ??. ②當 n 為奇數(shù)時，前 n1項為偶數(shù)項，于是有： nnnn xxxx )1()1()1()1( 11221 ???????? ??? 1312 11)31)2( 12(11)1(1 ??????????????? nnnnn xx. 綜合 ①②可知原不等式得證 . 26.(1)因為 2 02xa xb x c? ?? 的 不 動 點 為 和,∴ 0?a 且 )0(21 ??? ccb (2)∵ c＝ 2 ∴ b＝ 2 ∴ ? ? ? ? ? ?2 121xf x xx???， 由已知可得 2Sn＝ an－ an2…… ①，且 an ≠ 1． 當 n ≥ 2時， 2 Sn 1＝ an－ 1－ 21na? …… ②， ①－ ②得 (an＋ an－ 1)( an－ an－ 1＋ 1)＝ 0， ∴ an＝－ an－ 1 或 an＝－ an－ 1 ＝－ 1， 當 n＝ 1 時， 2a1＝ a1－ a12 ? a1＝－ 1， 若 an＝－ an－ 1，則 a2＝ 1 與 an ≠ 1矛盾． ∴ an－ an－ 1＝－ 1， ∴ an＝－ n． ∴ 要證不等式，只要證 ? ?11 1 111nnn e n? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，即證 11111nne ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?， 只要證 ? ?l n 1 1 1 l n 1nnnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，即證 1 1 1ln 11n n n??? ? ???? ??． 25 考慮證不等式 ? ?ln 11x xxx ? ? ??(x＞ 0) 即可， 令 g(x)＝ x－ ln(1＋ x)， h(x)＝ ln(x＋ 1)－1xx? (x＞ 0) ． ∴ ??39。 0fx? , ??fx為減函數(shù) ,而 ? ?00f ? , 從而當 0x? 時 , ? ? 0fx? ,不合題意 ,應舍去 . ② 若 01a??,則當 ? ?0, lnxa?? 時 , ? ?39。 ??? xxh，故 ??xh 在 ? ?49,33 上單調遞增， 則 ??xh 在 ? ?49,33 上的最小值為 ? ? 17503350 5033 ???h （小時）； ? ? ? ?3233 hh ?? ， ? ??xh 在 ? ?49,1 上的最小值為 ? ?32h . 32??x . 答：為了在最短時間內完成生產任務， x 應取 32 . 21.(1)由題意知：企業(yè)每月向湖區(qū)排放的污水量成等比數(shù)列，設第一個月污水排放量為 1a ，則 1 100a ? ，公比為 2 ，則第 m 個月的污水排放量為 12 100mma ???， 如果不治理， m 個月后的污水總量為： ? ? ? ?1 121 2 2 1 0 0 1 0 0 2 1 1 0 012 mmmnS ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??（立方米）． (2)由（ 1）知 6 3200a ? ，則 7 2800a ? ，由題意知，從 2020 年 7 月份開始，企業(yè)每月 向湖區(qū)排放的污水量成等差數(shù)列，公差為 400? ，記 7月份企業(yè)向湖區(qū)排放的污水量 為 1b ，則 280 0 ( 1 ) ( 400 ) 320 0 400nb n n? ? ? ? ? ? ?，令 0,nb? 得 8n? . 所以該企業(yè) 2020 年 2 月向湖區(qū)停止污水排放， 則該企業(yè)共排污水6 8 ( 2 8 0 0 0 ) 6 3 0 0 1 1 2 0 0 1 7 5 0 0