高中數(shù)學(xué)圓錐曲線(含軌跡問題)(參考版)
2024-08-26 20:11本頁面
【正文】 ?? ??－ 1k ＝－ 1， ∴ PA⊥ PB. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，直線的斜率及其方程，點(diǎn)到直線距離公式，直線的垂直關(guān)系的判斷．另外還考查了解方程組，共線、點(diǎn)在曲線上的問題．字母運(yùn)算的運(yùn)算求解能力， 考查推理 論證能力． (1)(2)屬容易題； (3)是考查學(xué)生靈活運(yùn)用、數(shù)學(xué)綜合解題能力，屬難題． 6. 解： (1) 由 e＝ ca＝ 22 ， a2c＝ 2 2， 解得 a＝ 2， c＝ 2， b2＝ a2－ c2＝ 2，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24＋y22＝ 1. (2) 設(shè) P(x， y)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，則由 OP→ ＝ OM→ ＋ 2ON→ ，得 (x， y)＝ (x1， y1)＋ 2(x2， y2)＝ (x1＋ 2x2， y1＋ 2y2)， 即 x＝ x1＋ 2x2， y＝ y1＋ 2y2. 因?yàn)辄c(diǎn) M， N 在橢圓 x2＋ 2y2＝ 4 上，所以 x21＋ 2y21＝ 4， x22＋ 2y22＝ 4， 故 x2＋ 2y2＝ (x21＋ 4x22＋ 4x1x2)＋ 2(y21＋ 4y22＋ 4y1y2) ＝ (x21＋ 2y21)＋ 4(x22＋ 2y22)＋ 4(x1x2＋ 2y1y2) ＝ 20＋ 4(x1x2＋ 2y1y2)． 設(shè) kOM， kON分別為直線 OM， ON 的斜率，由題設(shè)條件知， kOMy1x1＝－ 12kAB 2kAB＝－ 1， ∵ OT∥ PB， ∴ PA⊥ PB. (解法 3)由????? y＝ kx，x24＋y22＝ 1，得 P??? ???21＋ 2k2， 2k1＋ 2k2 ， A??? ???－ 21＋ 2k2，－ 2k1＋ 2k2 ， C??? ???21＋ 2k2， 0 ， kAC＝2k1＋ 2k241＋ 2k2＝ k2，直線 AC： y＝ k2??? ???x－ b1＋ 2k2 ， 代入 x24＋y22＝ 1 得到 ?? ??1＋ k22 x2－ 2k21＋ 2k2x－4＋ 6k21＋ 2k2＝ 0， 解得 xB＝ 4＋ 6k2?2＋ k2? 1＋ 2k2， kPB＝ yB－ yPxB－ xP＝k2??????xB－ 21＋ 2k2xB－ 21＋ 2k2＝ － 4k4k2 ＝－ 1k.∴ kPA94c2＋ 1b2x222 ＝ (1－ y21)(1－ y22)＝ 1－ (y21＋ y22)＋ y21y22，故 y21＋ y22＝ 1. 又 ?? ??x212＋ y21 ＋ ?? ??x222＋ y22 ＝ 2，故 x21＋ x22＝ 2. 所以 OA2＋ OB2＝ x21＋ y21＋ x22＋ y22＝ 3. 例 4 解： (1) 連結(jié) RA，由題意得 RA＝ RP， RP＋ RB＝ 4， 所以 RA＋ RB＝ 4＞ AB＝ 2， 由橢圓定義，得點(diǎn) R 的軌跡方程為 x24＋y23＝ 1. (2) 設(shè) M(x0， y0)，則 N(－ x0，－ y0)， QM、 QN 的斜率分別為 kQM、 kQN， 則 kQM＝ y0x0－ 2， kNQ＝ y0x0＋ 2， 所以直線 QM 的方程為 y＝ y0x0－ 2(x－ 2)，直線 QN 的方程為 y＝ y0x0＋ 2(x－ 2)． 令 x＝ t(t≠ 2)，則 y1＝ y0x0－ 2(t－ 2)， y2＝ y0x0＋ 2(t－ 2)， 又 (x0， y0)在橢圓 x204 ＋y203 ＝ 1 上，所以 y20＝ 3－34x20. 所以 y1|3y|， ∴ － 3≤ xy≤ 3. 則 (x＋ 3y)2＝ x2＋ (3y)2＋ 6xy＝ 18＋ 6xy 的取值范圍是 [0,36]. x＋ 3y 的取 值范圍是 [－ 6,6]． ∴ AP→ AQ→ 的取值范圍． 解： (1) 點(diǎn) A坐標(biāo)代入圓 C 方程，得 (3－ m)2＋ 1＝ 5.∵ m＜ 3， ∴ m＝ 1. 圓 C： (x－ 1)2＋ y2＝ 5. 設(shè)直線 PF1的斜率為 k，則 PF1： y＝ k(x－ 4)＋ 4，即 kx－ y－ 4k＋ 4＝ 0. ∵ 直線 PF1與圓 C 相切， ∴ |k－ 0－ 4k＋ 4|k2＋ 1 ＝ k＝ 112 或 k＝ 12. 當(dāng) k＝ 112 時(shí)，直 線 PF1與 x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 3611，不合題意，舍去． 當(dāng) k＝ 12時(shí)，直線 PF1與 x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為－ 4， ∴ c＝ 4， F1(－ 4,0)， F2(4,0). 2a＝ AF1＋ AF2＝ 5 2＋ 2＝ 6 2， a＝ 3 2， a2＝ 18， b2＝ 2. 橢圓 E 的方程為： x218＋y22＝ 1. (2) AP→ ＝ (1,3)，設(shè) Q(x， y)， AQ→ ＝ (x－ 3， y－ 1)， AP→ d＝ 92. 例 2 解： (1) 由題意，設(shè)橢圓 C： x2a2＋y2b2＝ 1(a＞ b＞ 0)，則 2a＝ 4 3， a＝ 2 3. 因?yàn)辄c(diǎn) (2 2， 1)在橢圓 x2a2＋y2b2＝ 1 上，所以812＋1b2＝ 1，解得 b＝ 3， 故所求橢圓方程為 x212＋y23＝ 1. (2) 如圖設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)(y1＜ 0， y2＞ 0)． 點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 F(3,0)． 由 AF→ ＝ 3FB→ ，得????? 3－ x1＝ 3?x2－ 3?，－ y1＝ 3y2， 即????? x1＝－ 3x2＋ 12，y1＝－ 3y2， ① 又 A、 B 在橢圓 C 上， 鳳 凰出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán) 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號(hào) B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： 所以??? ?－ 3x2＋ 12?212 ＋?－ 3y2?23 ＝ 1，x2212＋y223＝ 1， 解得??? x2＝ 103 ，y2＝ 23 . 所以 B??? ???103 ， 23 ，代入 ① 得 A點(diǎn)坐標(biāo)為 (2，－ 2)． 因?yàn)?OA→ OE→ ＝ ?? ??x0， bax0＋ b 揚(yáng)州三模 )如圖，已知橢圓 C： x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)，點(diǎn) A、 B 分別是橢圓 C 的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線 AB 與圓 G： x2＋ y2＝ c24 (c 是橢圓的半焦距 )相離， P 是直線 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 作圓 G 的兩切線，切點(diǎn)分別為 M、 N. (1) 若橢圓 C 經(jīng)過兩點(diǎn) ??? ???1， 4 23 、 ??? ???3 32 ， 1 ， 求橢圓 C 的方程； (2) 當(dāng) c 為定值時(shí)，求證：直線
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