【正文】 P F D C A E B （∵ AB∥ DC， P 為面 PAB 與面 PCD的公共點(diǎn)，作 PF∥ AB，則 PF為面 PCD與面PAB 的交線??） 61. 空間有幾種距離？如何求距離？ 點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與線，點(diǎn)與面，線與線，線與面，面與面間距離。 D 1 C 1 A 1 B 1 H G D C A B （① ；② ；③ ）a r c s i n a r c s i n34 60 63o （ 3）如圖 ABCD為菱形，∠ DAB＝ 60176。cos cos cos? ? ?? A O B ??????? ?????? ?????? ????? C ? D α θ β （ 為線面成角，∠ ，∠ ）? ? ?AOC = BOC = （ 2）如圖，正四棱柱 ABCD— A1B1C1D1中對(duì)角線 BD1＝ 8， BD1與側(cè)面 B1BCC1所成的為 30176。 ［練習(xí)］ （ 1）如圖， OA為α的斜線 OB 為其在α內(nèi)射影， OC為α內(nèi)過 O點(diǎn)任一直線。 ②證明其符合定義，并指出所求作的角。 ? ? ?＝ 時(shí)， ∥ 或0 bo b ? （ ）二面角：二面角 的平面角 ，3 0 180? ? ? ?? ? ? ?l o o （三垂線定理法： A∈α作或證 AB⊥β于 B，作 BO⊥棱于 O，連 AO，則 AO⊥棱l，∴∠ AOB為所求。 （ 2）直線與平面所成的角θ， 0176。cos | | | |? ? ? ?? ?? ?? ?a ba bx x y yx y x y1 2 1 212 12 22 22 ［練習(xí)］ （ ）已知正方形 ，邊長(zhǎng)為 ， ， ， ，則1 1A B C D AB a BC b AC c? ? ? ? ? ?? ? ? | |a b c? ? ?? ? ? 答案： 22 ? ? ? ?（ ）若向量 ， ， ， ，當(dāng) 時(shí) 與 共線且方向相同2 1 4a x b x x a b? ? ? ?? ? ? 答案： 2 （ ）已知 、 均為單位向量，它們的 夾角為 ，那么3 60 3a b a bo? ? ? ?? ?| | 答案： 13 58. 線段的定比分點(diǎn) ? ? ? ? ? ?設(shè) ， ， ， ，分點(diǎn) ， ，設(shè) 、 是直線 上兩點(diǎn)， 點(diǎn)在P x y P x y P x y P P P1 1 1 2 2 2 1 2 l l 上且不同于 、 ，若存在一實(shí)數(shù) ，使 ，則 叫做 分有向線段P P P P PP P1 2 1 2? ? ?? ? ? P P P P P P P P1 2 1 2 1 20 0? ? ?所成的比（ ， 在線段 內(nèi)， ， 在 外），且? ? x x xy y yP P Px x xy y y? ??? ?????????? ?? ????????1 21 21 21 21 21122????， 為 中點(diǎn)時(shí)， ? ? ? ? ? ?如： ， ， ， ， ， ，? A B C A x y B x y C x y1 1 2 2 3 3 則 重心 的坐標(biāo)是 ，? A B C G x x x y y y1 2 3 1 2 33 3? ? ? ???? ??? ※ . 你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？ 59. 立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？ 平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 線∥線 線∥面 面∥面判定 線⊥線 線⊥面 面⊥面 性質(zhì)線∥線 線⊥面 面∥面? ?? ? ??? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? 線面平行的判定： a b b a a∥ ， 面 ， ∥面? ? ?? ? ? a b ?? 線面平行的性質(zhì)： ? ? ? ? ? ?∥面 ， 面 ， ∥? ? ?? b a b 三垂線定理（及逆定理）： PA AO PO⊥面 ， 為 在 內(nèi)射影， 面 ，則? ? ?a ? a OA a PO a PO a AO⊥ ⊥ ； ⊥ ⊥? ? ??a P O 線面垂直： a b a c b c b c O a⊥ ， ⊥ ， ， ， ⊥? ? ?? ?? a O α b c 面面垂直： a a⊥面 ， 面 ⊥? ? ? ?? ? 面 ⊥面 ， ， ， ⊥ ⊥? ? ? ? ? ?? ? ? ?l la a a α a l β a b a b⊥面 ， ⊥面 ∥? ? ? 面 ⊥ ，面 ⊥ ∥? ? ? ?a a ? a b ?? 60. 三類角的定義及求法 （ 1）異面直線所成的角θ， 0176。 ( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?（ ）重要性質(zhì)：設(shè) ， ， ，3 1 1 2 2a x y b x y? ?? ? ① ⊥ ，a b x y x y x x y y? ? ? ? ?1 1 2 2 1 2 1 2 注意：數(shù)量積不滿足結(jié) 合律 ( )a b c a c b c? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?③ a b b a? ? ? ?? ② | | | | cos ? （ 2）數(shù)量積的運(yùn)算法則 ① 1 a b a b a b? ? ? ? ? ?? | | | | cos ? ? ?? ? ?為向量 與 的夾角， ，a b? ? ? 0 B ?b O ? D A ?a 數(shù)量積的幾何意義： a b a b a b? ? ? ? ? （ 9）向量的坐標(biāo)表示 i j x y? ?， 是一對(duì)互相垂直的單位 向量，則有且只有一對(duì) 實(shí)數(shù) ， ，使得? ?a x i y j x y a a x y? ? ? ? ?? ? ?，稱 ， 為向量 的坐標(biāo)，記作： ， ，即為向量的坐標(biāo)( ) 表示。 規(guī)定零向量與任意向量平行。 （ ）向量的模——有向線 段的長(zhǎng)度，2 | |a? （ ）單位向量 ，3 10 0| | | |a a aa? ???? ? （ ）零向量 ，4 0 0 0? ? ?| | （ ）相等的向量長(zhǎng)度相等方向相同5 ? ??? ?? ?a b 在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動(dòng)而不改變。 其中，頻率 小長(zhǎng)方形的面積 組距 頻率組距? ? ? ?樣本平均值： ??x n x x x n? ? ? ?1 1 2 ? ? ? ? ? ?? ?樣本方差： ??S n x x x x x xn2 1 2 2 2 21? ? ? ? ? ? ? 如：從 10 名女生與 5名男生中選 6 名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機(jī)抽樣，則組成此參賽隊(duì)的概率為 ____________。 55. 對(duì)總體分布的估計(jì) —— 用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計(jì)總體的期望和方差。 解析： ∵一件一件抽?。ㄓ许樞颍? ∴ ，n A m C A A? ?105 42 52 63 ∴ PC A AA4 42 52 631051021? ? 分清（ 1）、（ 2）是組合問題，（ 3）是可重復(fù)排列問題，（ 4） 是無重復(fù)排列問題。 （ 1）從中任取 2件都是次品； PCC1 42102215? ???? ??? （ 2）從中任取 5件恰有 2件次品； PC CC2 42 631051021? ???? ??? （ 3）從中有放回地任取 3件至少有 2件次品； 解析： 有放回地抽取 3次（每次抽 1件），∴ n＝ 103 而至少有 2件次品為“恰有 2次品”和“三件都是次品” ∴ A B A B A B A B與 獨(dú)立， 與 ， 與 ， 與 也相互獨(dú)立。 A B 或 “ 與 同時(shí)發(fā)生”叫做 與 的積。2 A B A B B A? A B （ ）事件的和（并）： 或 “ 與 至少有一個(gè)發(fā)生”叫做 與3 A B A B A B A B? ? 的和（并）。 如：學(xué)號(hào)為 1， 2， 3， 4的四名學(xué)生的考試成績(jī) ? ?x i x x x xi ? ? ? ? ?89 90 91 92 93 1 2 3 4 1 2 3 4， ， ， ， ， ， ， ， 且滿足 ，( ) 則這四位同學(xué)考試成績(jī)的所有可能情況是（ ） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成兩類： （ ）中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)不相等 ，1 有 （種）C 54 5? （ 2）中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等 x x x x1 2 3 4? ? ? 相同兩數(shù)分別取 90， 91， 92，對(duì)應(yīng)的排列可以數(shù)出來，分別有 3， 4， 3 種，∴有10種。 （ ）分類計(jì)數(shù)原理： ??1 1 2N m m m n? ? ? ? （ 為各類辦法中的方法數(shù) ）m i 分步計(jì)數(shù)原理： S a a a aS a a a an n nn n n? ? ? ? ?? ? ? ? ????????1 2 11 2 1???? 相加 ? ? ? ? ? ?2 1 2 1 1S a a a a a an n n n? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ［練習(xí)］ 已知 ，則f x x x f f f f f f f( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ?221 1 2 12 3 13 4 14 （由 f x f x x x xxxx x( ) ??????? ? ? ???????? ??? ???? ? ? ? ?1 111 1 111 1222222 2 ∴原式 ? ? ? ??? ?????? ??? ? ? ??? ?????? ??? ? ? ??? ?????? ???f f f f f f f( ) ( ) ( ) ( )1 2 12 3 13 4 14 ? ? ? ? ?12 1 1 1 3 12 ） 48. 你知道儲(chǔ)蓄、貸款問題嗎？ △零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型： 若每期存入本金 p元，每期利率為 r， n期后，本利和為： ? ? ? ? ? ?? ?S p r p r p nr p n n n rn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????1 1 2 112?? ??等差問題 △若按復(fù)利，如貸款問題 —— 按揭貸款的每期還款計(jì)算模型（按揭貸款 —— 分期等額歸還本息的借款種類） 若貸款（向銀行借款） p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第 n次還清。S qS S q bn n n n? 如： ??S x x x nxn n? ? ? ? ? ? ? ??1 2 3 4 12 3 1 ? ?x S x x x x n x nxn n n ? ?如： 是公差為 的等差數(shù)列，求a d a an k kkn 111 ???