【正文】 即 }:),(m i n {}:),(m a x {),( YyyxfXxyxfyxf hkkh ????1. 最小最大原理 ? 鞍點 定理 (最小最大原理 ) 是矩陣 的 鞍點 (即博弈局勢 (xh, yk)是矩陣博弈 f 的古諾均衡 )當且僅當 下述等式成立： ijminjhkijnjmi fff ???????? ?? 1111 m a xm i nm i nm a xhkf nmijf ?? )(f 鞍點定理表明，要找到矩陣博弈的古諾均衡 (即最優(yōu)解 )，只需按照如下步驟進行：第一，從矩陣各行的最小元中找出最大元，稱為 最大最小元 ；第二，從矩陣各列的最大元中找出最小元，稱為 最小最大元 ；第三，如果 最大最小元 與 最小最大元 一致 ，那么該元素就是矩陣的鞍點，代表矩陣博弈的 古諾均衡 。 ? 博弈過程 ：既然每個局中人都要根據(jù)對方的行動來調整和確定自己的行動，那么博弈過程必然是這樣的策略調整與選擇過程：每個人都要不斷地在對方選定了策略的情況下來調整自己的策略以使自己的收益達到 最大。 我們來分析局中人的博弈過程以揭示博弈的最優(yōu)解 。 這個游戲就是通常所說的 便士匹配博弈 (Matching Pennies)， 它類似于小孩子玩的“手心手背”游戲。 游戲規(guī)則 ：甲和乙各自獨立決定是出示正面還是出示反面。 ))0()),((),()((),((:,:},{},{,),。 Y, g)可表示為 G = (X, Y, f ) 。我們先以最簡單的 矩陣博弈 為重點來討論這個問題，建立博弈論的基本思路和分析框架。 博弈論正是要研究人們之間的這種不相容的行為，它推廣了標準的一人決策理論。 一般來講，博弈的特征表現(xiàn)為兩個或兩個以上具有利益沖突的當事人處于一種不相容狀態(tài)中，一方的行動取決于對方的行動，每個當事人的收益都取決于所有當事人的行動。比如，企業(yè)在經(jīng)營決策中總是要考慮競爭對手的反應，個人與政府之間又存在著“上有政策，下有對策”的博弈跡象，金融監(jiān)管與金融創(chuàng)新則猶如“貓鼠博弈”。 一、矩陣博弈 博弈是一種普遍的日?，F(xiàn)象。 ① 按局中人數(shù)分： 二人博弈 、 多人博弈 ② 按策略集合分： 有限博弈 、 無限博弈 ③ 按收益函數(shù)分： 常和 (零和 )博弈 、 變和博弈 ④ 按博弈性質分： 非合作博弈 、 合作博弈 ⑤ 按行動次序分： 同時移動博弈 、 先后 移動博弈 (序貫博弈 ) 以上分類可以結合起來，形成更仔細的分類。 ? 局勢 ：由各 局中人的策略組成的 n元組 (x1, x2,?, xn)(其中 xi?Xi )。 ? 策略博弈 (game of strategies)：局中人以策略定勝負。 博弈的標準形式與分類 ? 博弈的基本要素 ：局中人 (玩家 )、 策略、收益。大部分經(jīng)濟活動都可以用博弈論加以解釋，甚至連市場調節(jié)與宏觀調控這樣的重大問題都可以看成是特殊的博弈現(xiàn)象，納入到博弈論的范圍加以研究。如何克服和解決人們之間的利益沖突？如何才能實現(xiàn)一種既能讓每個人都實現(xiàn)自己的利益，又能讓每個人都不妨礙和傷害他人利益的互利互惠的和諧局面？博弈論 (game theory)為解決這些問題提供了一種有力的科學分析框架。 ?? ? ?ni iyp 1)(?),2,1( niYy ii ???? ),2,1()( nipy ii ???? ?)( py ii ???)(1 pyni i ??? ? ?第 13講 博弈論 到目前為止，我們對經(jīng)濟活動的考察沒有考慮人們之間行為的相互影響。 ???? ?mi i ppp 1 )()()( ????? ?mi i ppSp 1 )()()( ??(1) 社會利潤最大化必然是各企業(yè)的利潤最大化 ： 若 且 ， 則 。 )(1 YFryy mi i ??? ??? ?mi iYFrYFr 1 )()((二 ) 總凈供給與社會的企業(yè)代表 社會生產(chǎn)是否以利潤最大化為目標？為了回答這個問題，暫且把社會看成是一個以 Y 為生產(chǎn)集合的 “ 企業(yè) ” ，然后分析這個企業(yè)的利潤最大化行為結果是否與社會的總供給結果一致。 ? 定理 若 yi ? Yi (i = 1,2,?,m) 且 (即 y 是技術有效的社會生產(chǎn) )， 則 yi ? Fr(Y )， 即 yi 是企業(yè) i 的技術有效的生產(chǎn) (i = 1,2,?,m) 。 ? mi iYY 1??? 社會技術有效性 ：社會生產(chǎn) y ? Y 稱為是 技術有效 的，沒有一種社會生產(chǎn) z ? Y 是 能夠滿足條件 “ y z” 。社會社會產(chǎn)技術又具有總括性，即包括了每個企業(yè)的生產(chǎn)技術： 。比如，它把前沿性 (即閉集 )、 包容性都從企業(yè)那里傳承過來。 )( pi?RRf i ??:總量 (aggregate)：社會上諸企業(yè) 的個量之總和。 ：企業(yè) i?F 的間接利潤函數(shù)。 Yi：企業(yè) i?F 的生產(chǎn)集合。 p = (p1, p2,?, p?)：所有商品的價格體系 ——價格向量。這就為宏觀經(jīng)濟的總供給和總量生產(chǎn)函數(shù)理論建立了微觀基礎。 企業(yè)代表的個體利潤最大化行為決定了行業(yè)的要素總需求和產(chǎn)品總供給，也決定了行業(yè)的總利潤水平： (1) 企業(yè)代表的要素需求 (利潤最大化投入 )正好是要素總需求(行業(yè)內諸企業(yè)的要素需求之總和 )； (2) 企業(yè)代表的產(chǎn)品供給 (利潤最大化產(chǎn)出 )正好是產(chǎn)品總供給(行業(yè)內諸企業(yè)的產(chǎn)品供給之總和 )； (3) 企業(yè)代表的最大利潤 (價格決定的間接利潤 )正好是行業(yè)總利潤 (行業(yè)內諸企業(yè)的最大利潤之總和 )。 )()(1 QCQCmi ii ?? ?? 對偶定理 產(chǎn)量分配與要素配置之間是對偶關系 ， 即 (1) 若 x*是總產(chǎn)量 Q 上的行業(yè)成本最小化投入， 是 x*下的要素最優(yōu)配置，則 是 Q 的產(chǎn)量最優(yōu)分配且 是企業(yè) i 在產(chǎn)量 上的成本最小化投入，其中 ； (2) 若 是總產(chǎn)量 Q 的產(chǎn)量最優(yōu)分配， 是企業(yè) i 在產(chǎn)量 上的成本最小化投入，則 是總產(chǎn)量 Q 上的行業(yè)成本最小化投入且 是總投入 x*下的要素最優(yōu)配置 。 ),( 21 ??? mxxx ??ix?ix ?? ? ?mi ixx 1*),( 21 ??? mxxx ?(三 ) 行業(yè)成本理論 ? 行業(yè)成本定理 行業(yè)成本函數(shù) C = C(Q) = C(w, Q) 與企業(yè)成本函數(shù)Ci = Ci(Q) = Ci(w, Q) (w 0既定 )之間關系如下 ： 對任何 Q ? 0， 有 ?????? ?????????? ????????QCQxfwxQC miiimiimiiimii1111:)(m i n)(:m i n)(? 行業(yè)成本最小化 ：對于總投入 x*，若 w x* = C(Q)，則稱 x* 是總產(chǎn)量 Q 上的 行業(yè)成本最小化投入 。這個企業(yè)就叫做行業(yè)的 企業(yè)代表 (representative firm) ，簡稱 行業(yè)代表 。 ),(),( qwqw ???),(),(* qwqwx ??),(),(* qwqwQ ?? 這就是說，行業(yè)利潤最大化的結果正好體現(xiàn)在行業(yè)的要素總需求、產(chǎn)品總供給和行業(yè)總利潤上。 ? 行業(yè)要素需求正是要素總需求 ： 。 ? 行業(yè)利潤最大化 ： ? 行業(yè)最大利潤 ： ? 行業(yè)要素需求 ： x* = x*(w, q) . ? 行業(yè)產(chǎn)品供給 ： Q* = Q*(w, q) = f (x*(w, q)) = f (x*) ? 行業(yè)成本函數(shù) ： }:)(m a x {)(m a x nRxwxxfqx ?????}:)(m a x {),( nRxwxxfqqw ????? ??)})(()(:m i n {),()( QxfRxwxQwCQCC n ?????? ?}0:),(m a x {}:)(m a x {),( ?????? ? wCQqRxwxxfqqw n?*),(*),(**)( QwCqQqwwxxfq ?????),(**)(*)( qwwxxfqx ?? ???(二 ) 行業(yè)代表 現(xiàn)在，我們來回答行業(yè)是否追求利潤最大化的問題。 ? 問題 ：行業(yè)是否追求行業(yè)利潤最大化？ )( nRx ??這個問題的答案是肯定的。這個利潤水平便是總投入 x 下的 行業(yè)利潤 ，記作 ? (x)。 ? 行業(yè)技術有效性 ：指按照行業(yè)生產(chǎn)函數(shù) 衡量的技術有效性，具體地說，總投入 x 稱為是 行業(yè)技術有效 的，是說沒有一種投入方案 z 能夠滿足條件 “ z x 且 f (z) ? f (x)” 。 ? x 是行業(yè)技術有效的總投入當且僅當沒有一種投入方案 z 能夠滿足條件 “ z x 且 f (z) = f (x)” 。 ? 若 x 是行業(yè)技術有效的總投入 ， 則對任何總投入方案 z x， 都有 f (z) f (x)。 mnm Rxxx ??),( 21 ? )( F?? ? iRx ninRx ?? ,( 21 ?xx)mx xxmi i ?? ?1 )()(1 xfxfmi ii ?? ? ),( 21 mxxx ?nRx ?? ),( 21 mxxx ?),2,1()()( mixfxf ii ?????1. 行業(yè)生產(chǎn)與行業(yè)技術有效性 ? 行業(yè)生產(chǎn) ：特指按照行業(yè)生產(chǎn)函數(shù) 組織的生產(chǎn)。 ? 要素最優(yōu)配置 ：對任何 ，必存在這樣的要素配置 使得 且 ， 這個向量組 叫做行業(yè)在總投入 x 下的 要素最優(yōu)配置 。為此，我們先引入一個函數(shù)，暫且叫做行業(yè)生產(chǎn)函數(shù)，然后論證在這個函數(shù)下，的確可把行業(yè)看成是一個企業(yè)。 RRf ni ??:)),(,),(),((),( 21 qwqwqwqw iniii ???? ??),( qwi?),( QwCC ii ?),( qwii ?? ?? 總量 (aggregate)：行業(yè)內諸企業(yè) 的個量之總和。 ：企業(yè) i?F 的成本函數(shù)。 ： 企業(yè) i?F 的要素需求。 F = {1, 2,?, m}：行業(yè)內企業(yè) (firm)的全體。 q：行業(yè)產(chǎn)品的價格。 現(xiàn)在，我們就來研究這個問題。 3 總供給 把各個企業(yè)的產(chǎn)品供給與要素需求加總起來，便得到經(jīng)濟社會的產(chǎn)品總供給和要素總需求。 ? 間接利潤函數(shù)是價格體系的連續(xù)可微函數(shù) 。 根據(jù)不同情況下的不同價格水平，來相應地安排每種情況下的生產(chǎn)，這是最好的做法，千萬不可搞 “ 一刀切 ” 。 )( p?? ?? 間接利潤函數(shù) 是價格 p 的凸函數(shù) 。 )())((}:m a x {)( pppYypyp ????? ?????? 通過間接利潤函數(shù)，可以確定凈供給 ： ， 即 ppp ??? )()( ??),2,1()()()( ???????? hpppp hhh ???? 間接利潤函數(shù)是要素價格的遞減函數(shù) ， 是產(chǎn)品價格的遞增函數(shù) 。 ),2,1,()( ?????? khppskhhk ?注意，這里沒有要求替代矩陣的半正定性，是因為 供給法則與可微性公理一道蘊含著替代矩陣的半正定性 。 ? 可微性公理 ：凈供給映射 y* = ? ( p) 是價格 p 的連續(xù)可微映射。 ? 齊次性公理 ：凈供給映射 y* = ? ( p) 是價格 p 的零階齊次映射。 EJJ ??10* ) )(( ?? TyfS 1* ) )(( ?? Tyfz),2,1,()()( ?????????? khsp pp ps khhkkhhk??(三 ) 多種產(chǎn)品的凈供給公理 通過以上分析