【正文】 即 }:),(m i n {}:),(m a x {),( YyyxfXxyxfyxf hkkh ????1. 最小最大原理 ? 鞍點(diǎn) 定理 (最小最大原理 ) 是矩陣 的 鞍點(diǎn) (即博弈局勢(shì) (xh, yk)是矩陣博弈 f 的古諾均衡 )當(dāng)且僅當(dāng) 下述等式成立： ijminjhkijnjmi fff ???????? ?? 1111 m a xm i nm i nm a xhkf nmijf ?? )(f 鞍點(diǎn)定理表明，要找到矩陣博弈的古諾均衡 (即最優(yōu)解 )，只需按照如下步驟進(jìn)行：第一，從矩陣各行的最小元中找出最大元，稱為 最大最小元 ；第二，從矩陣各列的最大元中找出最小元，稱為 最小最大元 ；第三，如果 最大最小元 與 最小最大元 一致 ，那么該元素就是矩陣的鞍點(diǎn)，代表矩陣博弈的 古諾均衡 。 ? 博弈過(guò)程 ：既然每個(gè)局中人都要根據(jù)對(duì)方的行動(dòng)來(lái)調(diào)整和確定自己的行動(dòng)，那么博弈過(guò)程必然是這樣的策略調(diào)整與選擇過(guò)程：每個(gè)人都要不斷地在對(duì)方選定了策略的情況下來(lái)調(diào)整自己的策略以使自己的收益達(dá)到 最大。 我們來(lái)分析局中人的博弈過(guò)程以揭示博弈的最優(yōu)解 。 這個(gè)游戲就是通常所說(shuō)的 便士匹配博弈 (Matching Pennies)， 它類似于小孩子玩的“手心手背”游戲。 游戲規(guī)則 ：甲和乙各自獨(dú)立決定是出示正面還是出示反面。 ))0()),((),()((),((:,:},{},{,),。 Y, g)可表示為 G = (X, Y, f ) 。我們先以最簡(jiǎn)單的 矩陣博弈 為重點(diǎn)來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題，建立博弈論的基本思路和分析框架。 博弈論正是要研究人們之間的這種不相容的行為，它推廣了標(biāo)準(zhǔn)的一人決策理論。 一般來(lái)講，博弈的特征表現(xiàn)為兩個(gè)或兩個(gè)以上具有利益沖突的當(dāng)事人處于一種不相容狀態(tài)中，一方的行動(dòng)取決于對(duì)方的行動(dòng)，每個(gè)當(dāng)事人的收益都取決于所有當(dāng)事人的行動(dòng)。比如，企業(yè)在經(jīng)營(yíng)決策中總是要考慮競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的反應(yīng)，個(gè)人與政府之間又存在著“上有政策，下有對(duì)策”的博弈跡象，金融監(jiān)管與金融創(chuàng)新則猶如“貓鼠博弈”。 一、矩陣博弈 博弈是一種普遍的日常現(xiàn)象。 ① 按局中人數(shù)分： 二人博弈 、 多人博弈 ② 按策略集合分： 有限博弈 、 無(wú)限博弈 ③ 按收益函數(shù)分： 常和 (零和 )博弈 、 變和博弈 ④ 按博弈性質(zhì)分： 非合作博弈 、 合作博弈 ⑤ 按行動(dòng)次序分： 同時(shí)移動(dòng)博弈 、 先后 移動(dòng)博弈 (序貫博弈 ) 以上分類可以結(jié)合起來(lái)，形成更仔細(xì)的分類。 ? 局勢(shì) ：由各 局中人的策略組成的 n元組 (x1, x2,?, xn)(其中 xi?Xi )。 ? 策略博弈 (game of strategies)：局中人以策略定勝負(fù)。 博弈的標(biāo)準(zhǔn)形式與分類 ? 博弈的基本要素 ：局中人 (玩家 )、 策略、收益。大部分經(jīng)濟(jì)活動(dòng)都可以用博弈論加以解釋，甚至連市場(chǎng)調(diào)節(jié)與宏觀調(diào)控這樣的重大問(wèn)題都可以看成是特殊的博弈現(xiàn)象，納入到博弈論的范圍加以研究。如何克服和解決人們之間的利益沖突？如何才能實(shí)現(xiàn)一種既能讓每個(gè)人都實(shí)現(xiàn)自己的利益，又能讓每個(gè)人都不妨礙和傷害他人利益的互利互惠的和諧局面？博弈論 (game theory)為解決這些問(wèn)題提供了一種有力的科學(xué)分析框架。 ?? ? ?ni iyp 1)(?),2,1( niYy ii ???? ),2,1()( nipy ii ???? ?)( py ii ???)(1 pyni i ??? ? ?第 13講 博弈論 到目前為止，我們對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的考察沒(méi)有考慮人們之間行為的相互影響。 ???? ?mi i ppp 1 )()()( ????? ?mi i ppSp 1 )()()( ??(1) 社會(huì)利潤(rùn)最大化必然是各企業(yè)的利潤(rùn)最大化 ： 若 且 ， 則 。 )(1 YFryy mi i ??? ??? ?mi iYFrYFr 1 )()((二 ) 總凈供給與社會(huì)的企業(yè)代表 社會(huì)生產(chǎn)是否以利潤(rùn)最大化為目標(biāo)？為了回答這個(gè)問(wèn)題，暫且把社會(huì)看成是一個(gè)以 Y 為生產(chǎn)集合的 “ 企業(yè) ” ，然后分析這個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)最大化行為結(jié)果是否與社會(huì)的總供給結(jié)果一致。 ? 定理 若 yi ? Yi (i = 1,2,?,m) 且 (即 y 是技術(shù)有效的社會(huì)生產(chǎn) )， 則 yi ? Fr(Y )， 即 yi 是企業(yè) i 的技術(shù)有效的生產(chǎn) (i = 1,2,?,m) 。 ? mi iYY 1??? 社會(huì)技術(shù)有效性 ：社會(huì)生產(chǎn) y ? Y 稱為是 技術(shù)有效 的，沒(méi)有一種社會(huì)生產(chǎn) z ? Y 是 能夠滿足條件 “ y z” 。社會(huì)社會(huì)產(chǎn)技術(shù)又具有總括性，即包括了每個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)： 。比如，它把前沿性 (即閉集 )、 包容性都從企業(yè)那里傳承過(guò)來(lái)。 )( pi?RRf i ??:總量 (aggregate)：社會(huì)上諸企業(yè) 的個(gè)量之總和。 ：企業(yè) i?F 的間接利潤(rùn)函數(shù)。 Yi：企業(yè) i?F 的生產(chǎn)集合。 p = (p1, p2,?, p?)：所有商品的價(jià)格體系 ——價(jià)格向量。這就為宏觀經(jīng)濟(jì)的總供給和總量生產(chǎn)函數(shù)理論建立了微觀基礎(chǔ)。 企業(yè)代表的個(gè)體利潤(rùn)最大化行為決定了行業(yè)的要素總需求和產(chǎn)品總供給，也決定了行業(yè)的總利潤(rùn)水平： (1) 企業(yè)代表的要素需求 (利潤(rùn)最大化投入 )正好是要素總需求(行業(yè)內(nèi)諸企業(yè)的要素需求之總和 )； (2) 企業(yè)代表的產(chǎn)品供給 (利潤(rùn)最大化產(chǎn)出 )正好是產(chǎn)品總供給(行業(yè)內(nèi)諸企業(yè)的產(chǎn)品供給之總和 )； (3) 企業(yè)代表的最大利潤(rùn) (價(jià)格決定的間接利潤(rùn) )正好是行業(yè)總利潤(rùn) (行業(yè)內(nèi)諸企業(yè)的最大利潤(rùn)之總和 )。 )()(1 QCQCmi ii ?? ?? 對(duì)偶定理 產(chǎn)量分配與要素配置之間是對(duì)偶關(guān)系 ， 即 (1) 若 x*是總產(chǎn)量 Q 上的行業(yè)成本最小化投入， 是 x*下的要素最優(yōu)配置，則 是 Q 的產(chǎn)量最優(yōu)分配且 是企業(yè) i 在產(chǎn)量 上的成本最小化投入，其中 ； (2) 若 是總產(chǎn)量 Q 的產(chǎn)量最優(yōu)分配， 是企業(yè) i 在產(chǎn)量 上的成本最小化投入，則 是總產(chǎn)量 Q 上的行業(yè)成本最小化投入且 是總投入 x*下的要素最優(yōu)配置 。 ),( 21 ??? mxxx ??ix?ix ?? ? ?mi ixx 1*),( 21 ??? mxxx ?(三 ) 行業(yè)成本理論 ? 行業(yè)成本定理 行業(yè)成本函數(shù) C = C(Q) = C(w, Q) 與企業(yè)成本函數(shù)Ci = Ci(Q) = Ci(w, Q) (w 0既定 )之間關(guān)系如下 ： 對(duì)任何 Q ? 0， 有 ?????? ?????????? ????????QCQxfwxQC miiimiimiiimii1111:)(m i n)(:m i n)(? 行業(yè)成本最小化 ：對(duì)于總投入 x*，若 w x* = C(Q)，則稱 x* 是總產(chǎn)量 Q 上的 行業(yè)成本最小化投入 。這個(gè)企業(yè)就叫做行業(yè)的 企業(yè)代表 (representative firm) ，簡(jiǎn)稱 行業(yè)代表 。 ),(),( qwqw ???),(),(* qwqwx ??),(),(* qwqwQ ?? 這就是說(shuō)，行業(yè)利潤(rùn)最大化的結(jié)果正好體現(xiàn)在行業(yè)的要素總需求、產(chǎn)品總供給和行業(yè)總利潤(rùn)上。 ? 行業(yè)要素需求正是要素總需求 ： 。 ? 行業(yè)利潤(rùn)最大化 ： ? 行業(yè)最大利潤(rùn) ： ? 行業(yè)要素需求 ： x* = x*(w, q) . ? 行業(yè)產(chǎn)品供給 ： Q* = Q*(w, q) = f (x*(w, q)) = f (x*) ? 行業(yè)成本函數(shù) ： }:)(m a x {)(m a x nRxwxxfqx ?????}:)(m a x {),( nRxwxxfqqw ????? ??)})(()(:m i n {),()( QxfRxwxQwCQCC n ?????? ?}0:),(m a x {}:)(m a x {),( ?????? ? wCQqRxwxxfqqw n?*),(*),(**)( QwCqQqwwxxfq ?????),(**)(*)( qwwxxfqx ?? ???(二 ) 行業(yè)代表 現(xiàn)在，我們來(lái)回答行業(yè)是否追求利潤(rùn)最大化的問(wèn)題。 ? 問(wèn)題 ：行業(yè)是否追求行業(yè)利潤(rùn)最大化？ )( nRx ??這個(gè)問(wèn)題的答案是肯定的。這個(gè)利潤(rùn)水平便是總投入 x 下的 行業(yè)利潤(rùn) ，記作 ? (x)。 ? 行業(yè)技術(shù)有效性 ：指按照行業(yè)生產(chǎn)函數(shù) 衡量的技術(shù)有效性，具體地說(shuō)，總投入 x 稱為是 行業(yè)技術(shù)有效 的，是說(shuō)沒(méi)有一種投入方案 z 能夠滿足條件 “ z x 且 f (z) ? f (x)” 。 ? x 是行業(yè)技術(shù)有效的總投入當(dāng)且僅當(dāng)沒(méi)有一種投入方案 z 能夠滿足條件 “ z x 且 f (z) = f (x)” 。 ? 若 x 是行業(yè)技術(shù)有效的總投入 ， 則對(duì)任何總投入方案 z x， 都有 f (z) f (x)。 mnm Rxxx ??),( 21 ? )( F?? ? iRx ninRx ?? ,( 21 ?xx)mx xxmi i ?? ?1 )()(1 xfxfmi ii ?? ? ),( 21 mxxx ?nRx ?? ),( 21 mxxx ?),2,1()()( mixfxf ii ?????1. 行業(yè)生產(chǎn)與行業(yè)技術(shù)有效性 ? 行業(yè)生產(chǎn) ：特指按照行業(yè)生產(chǎn)函數(shù) 組織的生產(chǎn)。 ? 要素最優(yōu)配置 ：對(duì)任何 ，必存在這樣的要素配置 使得 且 ， 這個(gè)向量組 叫做行業(yè)在總投入 x 下的 要素最優(yōu)配置 。為此，我們先引入一個(gè)函數(shù)，暫且叫做行業(yè)生產(chǎn)函數(shù)，然后論證在這個(gè)函數(shù)下，的確可把行業(yè)看成是一個(gè)企業(yè)。 RRf ni ??:)),(,),(),((),( 21 qwqwqwqw iniii ???? ??),( qwi?),( QwCC ii ?),( qwii ?? ?? 總量 (aggregate)：行業(yè)內(nèi)諸企業(yè) 的個(gè)量之總和。 ：企業(yè) i?F 的成本函數(shù)。 ： 企業(yè) i?F 的要素需求。 F = {1, 2,?, m}：行業(yè)內(nèi)企業(yè) (firm)的全體。 q：行業(yè)產(chǎn)品的價(jià)格。 現(xiàn)在，我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。 3 總供給 把各個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品供給與要素需求加總起來(lái)，便得到經(jīng)濟(jì)社會(huì)的產(chǎn)品總供給和要素總需求。 ? 間接利潤(rùn)函數(shù)是價(jià)格體系的連續(xù)可微函數(shù) 。 根據(jù)不同情況下的不同價(jià)格水平，來(lái)相應(yīng)地安排每種情況下的生產(chǎn)，這是最好的做法，千萬(wàn)不可搞 “ 一刀切 ” 。 )( p?? ?? 間接利潤(rùn)函數(shù) 是價(jià)格 p 的凸函數(shù) 。 )())((}:m a x {)( pppYypyp ????? ?????? 通過(guò)間接利潤(rùn)函數(shù)，可以確定凈供給 ： ， 即 ppp ??? )()( ??),2,1()()()( ???????? hpppp hhh ???? 間接利潤(rùn)函數(shù)是要素價(jià)格的遞減函數(shù) ， 是產(chǎn)品價(jià)格的遞增函數(shù) 。 ),2,1,()( ?????? khppskhhk ?注意，這里沒(méi)有要求替代矩陣的半正定性，是因?yàn)?供給法則與可微性公理一道蘊(yùn)含著替代矩陣的半正定性 。 ? 可微性公理 ：凈供給映射 y* = ? ( p) 是價(jià)格 p 的連續(xù)可微映射。 ? 齊次性公理 ：凈供給映射 y* = ? ( p) 是價(jià)格 p 的零階齊次映射。 EJJ ??10* ) )(( ?? TyfS 1* ) )(( ?? Tyfz),2,1,()()( ?????????? khsp pp ps khhkkhhk??(三 ) 多種產(chǎn)品的凈供給公理 通過(guò)以上分析