高考理科數(shù)學(xué)線面垂直與面面垂直復(fù)習(xí)資料(參考版)
2024-08-24 10:28本頁面
【正文】 ， D為 AC的中點(diǎn) .過 PA、 PC ? 的中點(diǎn) A′、 C′作平 ? 面 A′B′C′，使 PD⊥ ? 平面 A′B′C′，交 ? PB于 B′點(diǎn) . ? 求證：平面 A′B′C′∥ 平面 ABC. 49 ? 證明： 因?yàn)?PA=PC， D為 AC的中 ? 點(diǎn)，所以 PD⊥ AC.① ? 設(shè) PA= △ PAB和 ? △ BPC都是正三角形， ? △ APC是等腰直角三角形， ? 所以 AB=BC=a， AC= BD， ? 易得 PD=BD= AC= a， 2122250 ? 從而 PD2+BD2=a2=PB2， ? 所以 PD⊥ BD.② ? 結(jié)合①②知， PD⊥ 平面 ABC. ? 由已知， PD⊥ 平面 A′B′C′， ? 所以平面 A′B′C′∥ 平面 ABC. 51 ? 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， ? AB =AC， ? D為 BC的中點(diǎn)， E ? 為 AD上任意一點(diǎn)， ? F為棱 BB1上一點(diǎn) . ? 若 C1F⊥ EF，求 的值 . 1 3 ,2BBBC ?參考題題型 線面垂直背景下的求值問題 1BFBB52 ? 解： 因?yàn)?AB=AC， D為 BC的中點(diǎn)， ? 所以 AD⊥ BC. ? 又 B1B⊥ 平面 ABC， ? AD 平面 ABC， ? 所以 AD⊥ BB1， ? 于是 AD⊥ 平面 BB1C1C. ? 所以 DF是 EF在平面 BB1C1C內(nèi)的射影 . ? 所以 C1F⊥ EF C1F⊥ DF， ? 即 DF2+C1F2=C1D2. ??53 ? 設(shè) BC=2a， BF= BB1BC= ， ? 所以 BB1=3a， B1F= Rt△ C1B1F中， ? C1F2= B1C2+B1F2=4a2+(3ax)2. ? 在 Rt△ DBF中， DF2=BD2+BF2=a2+x2. ? 在 Rt△ C1CD中， C1D2=CC21+CD2=10a2. ? 由 a2+x2+［ 4a2+(3ax)2］ =10a2， ? 得 x23ax+2a2=0，解得 x=a或 x=2a. ? 故 = = 或 . 3213233xa1BFBB54 ? 1. “由已知想性質(zhì) ， 由求證想判定 ” 是處理直線與平面平行 、 垂直關(guān)系的一般思想方法 .即看到已知條件去想有關(guān)的性質(zhì)定理 ，看到求證的結(jié)論去想有關(guān)的判定定理 ， 這實(shí)質(zhì)上就是把綜合與分析的思路結(jié)合起來使用 ， 使問題得以解決 . ? 2. 三垂線定理及其逆定理是判定或證明兩條直線互相垂直的重要理論依據(jù) ， 應(yīng)用時(shí)要先找 “ 平面 ” ， 再認(rèn)定 “ 斜線 ” 和 “ 射影 ” . 55 ? 3. 利用線線垂直 、 線面垂直的有關(guān)性質(zhì) ，將垂直條件或結(jié)論轉(zhuǎn)化為線面位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系 ， 先要確定轉(zhuǎn)化方向 ， 通過分析綜合法尋求問題的解決途徑 . 56 ? 3. 判定或證明兩平面垂直有兩種方法：一是根據(jù)定義判斷；二是由判定定理確定 .面面垂直與線面垂直 、 線線垂直是密切相關(guān)的 ， 解題時(shí)要注意三者的相互轉(zhuǎn)化 . ? 4. 平行與垂直是對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系 .通過平移轉(zhuǎn)化某些垂直關(guān)系 ， 是一個(gè)重要的解題技巧 . 。 ，可得 AC= E是 PC的中點(diǎn)，所以 AE⊥ PC. ??44 ? 由 (1)知 ， AE⊥ CD， 且 PC∩CD =C， ? 所以 AE⊥ 平面 PD PCD， ? 所以 AE⊥ PA⊥ 底面 ABCD， ? PD在底面 ABCD內(nèi)的射影是 AD， ? AB⊥ AD， 所以 AB⊥ PD. ? 又 AB∩AE=A， 所以 PD⊥ 平面 ABE. ?45 ? 2. 在正三棱柱 ABCA1B1C1中， E為棱 BB1 ? 上一點(diǎn) .已知平面 A1EC⊥ 平面 A A1 C1C， ? 求證： BE=B1E. ? 證明： 在平面 A1EC內(nèi) ? 過點(diǎn) E作 EG⊥ A1C，垂足為 G. ? 因?yàn)槠矫?A1EC⊥ 平面 AA1C1C， ? 所以 EG⊥ 平面 AA1C1C. 題型 5 線面垂直性質(zhì)的應(yīng)用 46 ? 取 AC的中點(diǎn) F，連結(jié) AB=BC， ? 所以 BF⊥ AC. ? 因?yàn)槠矫?ABC ? ⊥ 平面 AA1C1C， ? 所以 BF⊥ 平面 AA1C1C. ? 于是 BF∥ FG. ? 因?yàn)?BE∥ 平面 A
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