【正文】 ∴P B B 1 P B C O B B 1 1 1P B 1 O C 1 1 1S S S S B C P C P C O B O C O B O B2 2 2? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?梯 形 （ ） 22221 1 1 1 1 1 14 m m m 4 [ m m 4 4 ] m 4 42 3 3 2 3 3 22 8 2 8m m m 22 3 3 3? ? ? ? ? ? ? ? ?。 （ 2）點(diǎn) P 是第三象限內(nèi)拋物線(xiàn) 211y x x 433? ? ?上的一點(diǎn)， 如圖，過(guò)點(diǎn) P 作 PC⊥ x 軸于點(diǎn) C． 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ m， n）， 則 m＜ 0， n＜ 0， 211n m m 433? ? ?。 ∵ 拋物線(xiàn) y=ax2+bx+c（ a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn) B、 B A2， ∴ 16a 4b+c=0c= 49a+3b+c=0???????，解得1a=31b=3c=4??????????。得到 △ OA2B1，拋物線(xiàn) y=ax2+bx+c（ a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn) B、 B A2． （ 1）求拋物線(xiàn)的解析式． （ 2）在第三象限內(nèi)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn) P 在什么位置時(shí)， △ PBB1的面積最大？求出這時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)． （ 3）在第三象限內(nèi)，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn) Q， 使點(diǎn) Q到線(xiàn)段 BB1的距離為 22 ？若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 32 【答案】 解：（ 1） ∵ AB⊥ x 軸， AB=3， tan∠ AOB=34 ， ∴ OB=4。 19. （ 2020四川廣安 10分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， AB⊥ x軸于點(diǎn) B， AB=3， tan∠ AOB=34 ，將 △ OAB 繞著原點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 ② 首先過(guò)點(diǎn) F 作 FN⊥ AC 于點(diǎn) N，利用勾股定理即可求得 AE， BC 的長(zhǎng)，繼而求得 AN，CN 的長(zhǎng)，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得 AM=14AB33? 。 （ 2） ① 由 △ BAD≌△ CAF，可得 ∠ ABM=∠ GCM，又由對(duì)頂角相等，易證得 △ BMA∽△ CMG，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得 BGC=∠ BAC=90176。 【考點(diǎn)】 等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理。 ∵△ BMA∽△ CMG， ∴ BM CMBA CG? ， 即 4 10 8334 CG? ， ∴ CG=4105 。 ∴ AM= 14AB33? 。 ∴ 在 Rt△ FCN 中 ， FN 1tan FC N C N 3? ? ?。 ∴ AN=FN=12 AE=1。 ② 過(guò)點(diǎn) F 作 FN⊥ AC 于點(diǎn) N。 ∴∠ BGC=∠ BAC=90176。 （ 2） ① 證明：設(shè) BG 交 AC 于點(diǎn) M． ∵△ BAD≌△ CAF（已證）， ∴∠ ABM=∠ GCM。 在 △ BAD 和 △ CAF 中， ∵ AB=AC， ∠ BAD=∠ CAF， ∴△ BAD≌△ CAF（ SAS）。理由如下： ∵△ ABC 是等腰直角三角形，四邊形 ADEF 是正方形， ∴ AB=AC， AD=AF， ∠ BAC=∠ DAF=90176。）時(shí)，如圖 2， BD=CF 成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． （ 2）當(dāng)正方形 ADEF 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45176。 30 18. （ 2020 四川樂(lè)山 12 分） 如圖 1， △ ABC 是等腰直角三角形，四邊形 ADEF 是正方形， D、 F 分別在 AB、 AC 邊上，此時(shí) BD=CF， BD⊥ CF 成立． （ 1） 當(dāng)正方形 ADEF 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) θ（ 0176。 【分析】 （ 1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得 BE’=BE， ∠ E’BA=∠ EBC，由已知 ∠ DBE=12 ∠ ABC 經(jīng)等量代換可得 ∠ E’BD=∠ DBE，從而可由 SAS 得 △ E’BD≌△ EBD，得到 DE’=DE。 在 Rt△ DE’A 中， DE’2=AD2+E’A2， ∴ DE2=AD2+EC2。 ∴∠ BAC=∠ ACB=45176。 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知 E’A=EC， ∠ E’ AB=∠ ECB。得到 △ BE’A（點(diǎn) C 與點(diǎn) A 重合，點(diǎn) E 到點(diǎn) E’處），連接DE’。 ∴ DE’=DE。 ∴∠ E’BD=∠ DBE。 ∵∠ DBE=12 ∠ ABC， ∴∠ ABD＋ ∠ EBC =12 ∠ ABC。＜ ∠ CBE＜ 45176。求證： DE’=DE. （ 2）如圖 2，在 △ ABC 中， BA=BC， ∠ ABC=90176。＜ ∠ CBE＜ 12 ∠ ABC)。 ② 首先確定當(dāng) 0t≤4 2 2? 時(shí)，矩形 EFGH沿 y軸向上平移過(guò)程中關(guān)鍵點(diǎn)的位置，分 0t≤2，2t≤22， 22t≤4 2 2? 三種情況求出 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式。又由 △ DOI 是等腰直角三角形可得 OI=OD=2。 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得 ∠ OHM＝ 450， OH=OC=2， ∴ OM=22。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。 ∴ ? ? ? ? ? ?2 21 1 1S t 2 + t 2 t 2 2 = t + 2 + 2 2 t 62 2 2? ? ? ? ? ? ?。 （ III）當(dāng) 22t≤4 2 2? 時(shí)，矩形 EFHG與矩形 OABC 重疊部分的面積為五邊形EQCUV 的面積（如圖 8），它等于直角梯形 EQCO 的面積減去直角三角形 VOU 的的面積。 ∴ CP= 2+t? 。 由 E（ 0， t）， ∠ FFO=450，用用待定系數(shù) 法求得直線(xiàn) EP 的解析式為 y= x+t? 。 （ II）當(dāng) 2t≤22時(shí)，矩形 EFHG與矩形 OABC 重疊部分的面積為直角梯形 OEPC的面積（如圖 7）。 ∴ （ I）當(dāng) 0t≤2 時(shí)，矩形 EFHG 與矩形 OABC 重疊部分的面積為 △ OCS 的面積（如圖 6）。 ∴ 當(dāng) t=4 2 2? 時(shí)，就是 GF 平移到過(guò)點(diǎn) C 時(shí)的位置（如圖 5）。 27 ∴ 用待定系數(shù)法求得直線(xiàn) FG 的解析式為 y=x 4 2? 。 在 Rt△ OTG 中，由勾股定理，得 ? ? ? ?222x + 2 2 + x = 2 5，解得 x= 2 。則 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得， OF=OA=4， ∠ FOR＝ 450， ∴ OR=RF=22， F（ 22，－ 22）。 ∴ t=IM=OM－ OI=22－ 2。 ∴ DO=AB=2。 ∵ C（ 2， 0）， ∴ AB=OC=2。 （ 2） ① 如圖 1，設(shè)直線(xiàn) HG 與 y 軸交于點(diǎn) I。 ① 直線(xiàn) GH 與 x 軸交于點(diǎn) D，若 AD∥ BO，求 t 的值； 26 ② 若矩形 EFHG 與矩形 OABC 重疊部分的面積為 S 個(gè)平方單位，試求當(dāng) 0t≤ 224 ? 時(shí)， S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式。 （ 3）先在 OA 上取點(diǎn) N，使得 ∠ ONB=∠ ACB，那么只需令 ∠ NBA=∠ OMB 即可，顯然在 y軸的正負(fù)半軸上都有一個(gè)符合條件的 M點(diǎn)；以 y 軸正半軸上的點(diǎn) M 為例，先證 △ ABN、 △ AMB 相似，然后通過(guò)相關(guān)比例線(xiàn)段求出 AM 的長(zhǎng)。 【分析】 （ 1）該拋物線(xiàn)的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，只需將 A、 B 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解。 綜上， AM 的長(zhǎng)為 6 或 2。2=10， OM1=AM1－ OA=10－ 4=6。 ∴∠ ONB=∠ NBA+OAB=∠ ACB=∠ OMB+∠ OAB， 即 ∠ ONB=∠ OMB。 （ 3）由 A（ 0， 4）、 B（ 4， 0）得： OA=OC=4，且 △ OAC 是等腰直角三角形。 ∴ 直線(xiàn) AB： y=－ 2x4；直線(xiàn) AC： y=x－ 4。它的頂點(diǎn)坐標(biāo) P（ 1－ m，－ 1）。 ∴ 拋物線(xiàn)的解析式： y= 1 2 x2－ x－ 4。 （ 2）根據(jù)已知求出 C， D 兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出 “W”圖案的高與寬（ CD）的比。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用，翻折對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。 ∴ CD=26。 由（ x﹣ 1） 2﹣ 3=3，解得： 12x = 1 6 x = 1 + 6? ， 。 ∴ 拋物線(xiàn)解析式為 y=（ x﹣ 1） 2﹣ 3，即 y=x2﹣ 2x﹣ 2。 ∵ 拋物線(xiàn) y=a（ x﹣ 1） 2+c 頂點(diǎn)是 P（ 1，﹣ 3）， ∴ 拋物線(xiàn)解析式為 y=a（ x﹣ 1） 2﹣ 3。（ 1， 3）處． （ 1）求原拋物線(xiàn)的解析式； （ 2）學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽，九年級(jí) 5 班的小明在解答此題時(shí)頓生靈感：過(guò)點(diǎn) P39。 ② 由三角形中位線(xiàn)定理，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得證。 ③ 如圖 3，連接 OA． OB，過(guò)點(diǎn) O 作 OE⊥ AB 于點(diǎn) E，可得 △ AOB 為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可 求折疊后求圓心 O 到弦 AB 的距離。 【分析】 （ 1） ① 折疊后的 AB 所在圓 O′與 ⊙ O 是等圓，可得 O′A 的長(zhǎng)度。 ∵ 折疊后的 APB 與 CPD 所在圓與 ⊙ O 是等圓， ∴ O′P=O″P=2， ∴ PM=12 OO″=ON， PN=12 OO′=OM， ∴ 四邊形 OMPN 是平行四邊形。證明如下： 設(shè) O′， O″為 APB 和 CPD 所在圓的圓心， ∵ 點(diǎn) O′與點(diǎn) O 關(guān)于 AB 對(duì)稱(chēng)，點(diǎn) O″于點(diǎn) O 關(guān)于 CD 對(duì)稱(chēng)， ∴ 點(diǎn) M 為的 OO′中點(diǎn)，點(diǎn) N 為 OO″的中點(diǎn)。 又 ∵ EF=4， ∴ 點(diǎn) O 到 AB． CD 的距離之和 d 為： d=PH+PG=12 PE+12 PF=12 （ PE+PF） =2。 ∵ AB∥ CD， ∴ EF 垂直平分 AB 和 CD。 ∴ 圓心 O 到弦 AB 的距離為 3 。 過(guò)點(diǎn) O 作 OE⊥ AB 于點(diǎn) E， ∴ OE=OA?sin60176。 ∴ AOB 的長(zhǎng)度 120 2 4180 3??????。+60176。 ② 當(dāng) AB 經(jīng)過(guò)圓 O時(shí)，折疊后的 AB 所在圓 O′在 ⊙ O上，如圖 2所示，連接 O′A． OA． O′B， OB， OO′。 ② 把 b=2 代入 a、 b、 c 的關(guān)系式，根據(jù) a 是唯一的，可以判定 △ =c2﹣ 16=0，然后求出 c=4，再代入方程求出 a=2，然后由 ①△ ABD∽△ DCB 和 a= b=2，得 △ ABD和 △ DCB都是等腰直角三角形，得出 ∠ C=45176。 （ 2）根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得 ∠ AEB=∠ EBF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可 以判定出∠ AEB=∠ BEG，然后得到 ∠ EBF=∠ BEF，從而判斷出 △ FEB 為等腰三角形，再根據(jù)等角的余角相等求出 ∠ ABG=∠ EFB，然后根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等求出 ∠ BAG=∠ FBE，然后根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明。 【分析】 （ 1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得 AE=GE， ∠ EGB=∠ EAB=90176。 由 ①△ ABD∽△ DCB 和 a= b=2，得 △ ABD 和 △ DCB 都是等腰直角三角形， ∴∠ C=45176。 ∵ c＞ 0， ∴ c=4。 ∵ AD=a， AB=b， BC=c， ∴ BD= 22a +b ∴ 2222a a +bca +b ?，即 a2+b2=ac。 ∴△ ABD∽△ DCB。 ∴∠ DAB=∠ BDC=90176。 （ 3） ①∵ 四邊形 EFCD 為平行四邊形， ∴ EF∥ DC。2， ∴∠ BAG=∠ FBE。2 ， ∠ FBE=（ 180176。 在等腰 △ ABG 和 △ FEB 中， ∠ BAG=（ 180176。 ∠ GBF+∠ EFB=90176。 ∴ FE=FB， ∴△ FEB 為等腰三角形。 （ 2）證明： ∵ AD∥ BC， ∴∠ AEB=∠ EBF， ∵ 由折疊知 △ EAB≌△ EGB， ∴∠ AEB=∠ BEG。 ∴ AE＜ ED。理由如下： 根據(jù)題意得： AE=GE， ∠ EGB=∠ EAB=90176。 12. （ 2020湖北宜昌 11 分） 如圖，在直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC， ∠ ABC=90176。求出點(diǎn) P 和點(diǎn) N 的坐標(biāo)（用 t 的代數(shù)式表示），得出 △ MOT， △ NHT 都是等腰直角三角形的結(jié)論。把點(diǎn) F和點(diǎn) G的縱坐標(biāo)用含 a 的代數(shù)式表示，即可得等式 FG= 2F 1y y = 2 a a = 22G??，解之即可得 a 的值。 【分析】 （ 1）由點(diǎn) A 在拋物線(xiàn) C1 上求得點(diǎn) A 的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得直線(xiàn) AB 的解析式；聯(lián)立直線(xiàn)AB 和拋物線(xiàn) C1 即可求得點(diǎn) C 的坐標(biāo)。 ∴ m=2 。