【正文】 已經(jīng) 證明，這兩個(gè)控制器 使 擺動(dòng)的鐘擺從垂直位置 擺向 向下位置 是 一樣 有效 的 。 兩種 擺起方法仍 然需要多個(gè)波動(dòng) 才能 達(dá)到 豎直 位置， 同樣 也需要一個(gè)穩(wěn)定 的 控制器捕捉到 擺的豎直 位置。啟發(fā)式控制器 只是在理論 上 能 實(shí)現(xiàn) 。有數(shù)據(jù)表明 ，能源控制器還 比 啟發(fā)式 控制器 實(shí)施 的 更快。 這兩種控制器 能夠 成功地 將 擺動(dòng)鐘 的 擺從一開始向下的位置調(diào)整到 直立 位置，并圍繞這個(gè)平衡點(diǎn)擺 動(dòng) 。 人們很容易地看到， 當(dāng)能量 控制 器 成功地 使擺擺動(dòng) 到 豎直位置時(shí)， 穩(wěn)定控制器能夠趕上擺 ，并使其平衡 。 需要注 意 的是 每個(gè)擺 桿 擺角略有增加。作為啟發(fā)式控制器，該控制器被激活的穩(wěn)定點(diǎn) 在圖上是可以清楚地識(shí)別 的 。 自從利用極大的控制產(chǎn)量來盡快增加 系統(tǒng)的能量之后，控制的產(chǎn)量首先在 （在這個(gè)案例中，飽和度 第 20 頁 被定義為在 ）。 一次應(yīng)用能量控制器的實(shí)驗(yàn)的控制輸出結(jié)果如圖 4所示。在這些實(shí)驗(yàn)中 ,抵消值可升到 E0 = 。同時(shí) ,由于鐘擺系統(tǒng)的摩擦力和近似方程 (18),所需的能量抵消了某個(gè)略大于 0的值。此外，一旦它 被激活，在平衡位置周圍的擺角仍相當(dāng)穩(wěn)定。該控制器采用的 13個(gè)前擺是來足夠接近該穩(wěn)定控制器的垂直位置來抓住它。 這個(gè)擺角相應(yīng)的 情形 如圖 3所示。的位置到 第 19 頁 5176。時(shí)，控制輸出也開始在短短的一段 連續(xù)的 時(shí)間內(nèi)輸出 0 V。此外，通過擺角，控制器輸出到電機(jī)車的電壓在 V和 V之間交替。 一個(gè)控制器的輸出過程中的啟發(fā)式控制 器 實(shí)驗(yàn)運(yùn)行圖見圖 2 圖 2 控制輸出啟發(fā)式控制器圖 需要注意的是 ，擺起控制器大約需要 秒，才能 達(dá)到正常位置。 當(dāng) 電壓增益為 ， 啟發(fā)式控制器 能夠更好讓擺擺動(dòng)起來。這將觸發(fā) 開關(guān)， 使穩(wěn)定控制器可用于 捕捉擺，讓其在 各的不穩(wěn)定 地 點(diǎn)趨于 平衡點(diǎn)。這種控制 有效地 增加的鐘擺能量 到預(yù)期值 。該參數(shù) V在 satV的 價(jià)值決定了可用的最大數(shù)量的控制信號(hào)，從而增加最大的能源量擺 系統(tǒng) 。 該控制器基本上采用擺角和擺角速度來確定在任何時(shí)間移動(dòng)一點(diǎn) 小推車的移動(dòng)方向 。 控制 方案 達(dá)到預(yù)期的能量 時(shí) 其中 k是一個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)和 E0是所需的能量水平。 還要注意，對(duì)應(yīng)于向下的位置擺的能量為 2mpgl。 鐘擺的能量可以寫成 當(dāng) mp 是鐘擺的質(zhì)量， l 是半擺長， g 為重力加速度，而 I 是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。當(dāng)擺接近垂直位置 時(shí) ，早期的穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)可以 觸發(fā)捕捉擺 裝置，在各不穩(wěn)定 位置使其回到 平衡。通過反饋控制 的運(yùn)用 可以 使 擺系統(tǒng)中的能量 達(dá) 到所需的值 。因此，需要 通過 反復(fù)試驗(yàn)微調(diào)增益的方法 來 提高實(shí)驗(yàn)的成功率 ，使擺 在接近平衡位置的時(shí)候有 適量的速度 和合理的 時(shí)間 。 另一方面，電壓增益太低可能無法提供足夠的能量使鐘擺達(dá)到豎直位置。 擺動(dòng)垂直位置所花費(fèi)的時(shí)間 和 電壓增益的大小 有直接關(guān)系 。這將允許擺 有足夠的能量回到豎直 位置。因此，當(dāng)擺比 135 176。為了避免這一 情形 ， 我們 設(shè)立了一個(gè)開關(guān)，當(dāng)擺在向下位置 135176。然而車擺系 統(tǒng)的 特點(diǎn) ，就是同一車運(yùn)動(dòng)，一旦擺低于現(xiàn)在的水平軸，就給其補(bǔ)充能量，而實(shí)際上它會(huì)消耗擺的能量。該控制方案能有效地沿著軌道車來回的擺動(dòng)鐘擺，直至足夠接近正常位置。車的移動(dòng)方向是擺角穿過向下位置后立即相反的標(biāo)志。只要當(dāng)擺角穿過向下的位置時(shí)，控制計(jì)劃將改變運(yùn)動(dòng)的車的方向。并且當(dāng)它到達(dá)向下的位置決定鐘擺擺動(dòng)的方向。根據(jù)反復(fù)試驗(yàn)結(jié)果將一個(gè)特定的電壓增益應(yīng)用于電機(jī)車。開關(guān)觸發(fā)穩(wěn)定控制器在上述兩種情況下被激活。擺在 5176。該控制器將能量輸入車擺系統(tǒng)，直到它達(dá)到對(duì)應(yīng)于垂直位置擺能量狀態(tài)。它會(huì)重復(fù)這個(gè)動(dòng)作直到擺 桿 足夠接近到正常位置，這樣 ， 穩(wěn)定控制器可觸發(fā)保持這種平衡的狀態(tài)。 5 擺起控制器設(shè)計(jì) 兩種不同的控制方案進(jìn)行實(shí)施，從向下擺動(dòng)的位置擺調(diào)整到正常位置。 下面的過濾器選擇了 這個(gè)估計(jì)的方法： 用這種方法的問題是，它引入了一些延遲，具有增益略小于 1。因此，當(dāng)系統(tǒng)并不接近不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)時(shí)， 只有 通過低通濾波器來估 計(jì)兩個(gè)不可測狀態(tài) 。這種觀測器設(shè)計(jì)簡單，并 提供所有線性點(diǎn)周圍狀態(tài)的準(zhǔn)確估計(jì)。因此，一個(gè)觀察員是根據(jù)所有車擺位置提供準(zhǔn)確的估計(jì)。事實(shí)上，只有車的位置， P 和擺角，θ能直接測量。由于此控制法建立在線性化系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)控制器是唯一有效當(dāng)擺在直立位置附近。 該比重在最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)選擇的參數(shù)是： 基于此設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，控制器增益的線性系統(tǒng)矩陣為： 通過使用這個(gè) K 和控制律252。在 LQR 設(shè)計(jì)中，增益矩陣 K 對(duì)于一個(gè)線性狀態(tài)反饋控制律252。當(dāng)擺接近線性點(diǎn) 時(shí) ，控制將切換到穩(wěn)定控制器，它將平衡各 位置 的直立擺。第一部分涉及到最佳狀態(tài)的線性模型， 即 穩(wěn)定在正常位置 時(shí) 擺的反饋控制器設(shè)計(jì)。此外，為簡單起見， 并且注意對(duì)于電機(jī)來說力 F和電壓 V的關(guān)系為： 定義狀態(tài)向量為： 最后，我們線性化系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡 (0 0 0 0)T. 注意θ =0 對(duì)應(yīng)的鐘擺正處于直立位置。 圖 1 倒立擺的設(shè)置 第 13 頁 配 備有發(fā)動(dòng)機(jī) 的 一輛車提供水平的運(yùn)動(dòng)，而車的位置， p， 擺桿 角度，θ等測量數(shù)據(jù)是通過一個(gè)正交編碼器采取。該項(xiàng)目的控制目標(biāo)將集中從穩(wěn)定平衡位置開始（擺朝下），擺動(dòng) 到 它的不穩(wěn)定的平衡位置（直立擺），并保持這種狀態(tài)。不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)于擺點(diǎn) 是 嚴(yán)格向上的狀態(tài)，因此，需要一個(gè)外力來維持這一位置。在沒有任何控制力的情況下，系統(tǒng)自然會(huì)恢復(fù)到這種狀態(tài)。倒立擺系統(tǒng)本身有兩個(gè)平衡點(diǎn)，其 中之一是穩(wěn)定的，而另一種是不穩(wěn)定的。測量時(shí)連接到一個(gè) MultiQ 3 通用數(shù)據(jù)采集和控制電路板的正交編碼器。用戶能夠通過電機(jī)調(diào)整位置 ， 速度 和 軌道 來 限制小車在水平方向運(yùn)動(dòng)。由于系統(tǒng)本身 是 非線性 的 ，它也一直在說明在非線性控制的一些想法非常有用。 1 簡介 倒立 擺系統(tǒng) 的平衡問題 是一個(gè)在控制系統(tǒng)方面的標(biāo)準(zhǔn)問題。最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器是一個(gè)以正常位置周圍的線性模型為基礎(chǔ)的穩(wěn)定控制器，當(dāng)車擺系統(tǒng)接近平衡狀態(tài) 時(shí) 是有效的。啟發(fā)式控制器在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候輸出一個(gè)重復(fù)信號(hào)，并微調(diào)具體的實(shí)驗(yàn)裝置。啟發(fā)式的非線性控制器和一個(gè)能源控制器 先 運(yùn)行，使 擺桿 擺動(dòng)到正常位置。 of the upright position. The corresponding plot of the pendulum angle is shown in Figure 3. Each swing increases the pendulum angle slightly until the pendulum is close to its unstable equilibrium. The controller takes about 13 swings before the pendulum is close enough to the upright position for the stabilizing controller to catch it. The point in which the stabilizing controller is activated is discernible from the plot. Also, once activated, the pendulum angle remains fairly constant around the balanced position. Figure 3. Plot of the Pendulum Angle for the Heuristic Controller The energy controller is implemented with the design parameter, k, chosen to be . Also, as a result of the friction in the cartpendulum system and the approximation made in equation (18), the desired energy was offset to a value slightly higher than 0. The appropriate offset can be determined 第 10 頁 through experimentation. In these experiments, the offset is raised to E0 = . Repeated experimentation on the energy controller showed that this controller was reliable at least 90% of the time. A plot of the controller output during an experimental run using the energy controller is shown in Figure 4. Figure 4. Plot of the Control Output for the Energy Controller It is important to note that the energy control takes approximately 10 seconds to reach the upright position. The control output initially alternates between V and V since it attempts to increase the energy of the system as quickly as it possibly can by using its maximum control output (in this case, the saturation is defined to be at V). When the pendulum is close to the upright position, the control output starts to decrease in magnitude since the control output is based on the difference between the energy of the system and the desired value. As with the heuristic controller, the point at which the stabilizing controller is activated is clearly discernible on the plot. The corresponding plot of the pendulum angle for the energy controller is shown in Figure 5. Note that with each swing the pendulum angle is increased slightly. This controller takes about 12 swings before the pendulum is Figure 5. Plot of the Pendulum Angle for the Energy Controller close to the upright position. It is easy to see that the stabilizing controller is able to catch the pendulum 第 11 頁 and balance it once the energy controller successfully swings the pendulum to the upright position. 7. CONCLUSIONS Two swingup control schemes have been implemented that will switch to a stabilizing controller wh