20xx版高考人教版數(shù)學一輪學案：第五章第一講-數(shù)列的概念與簡單表示法-(含解析)(參考版)
2025-04-03 03:35本頁面
【正文】 2n，∴－＝3，又a1＝1，∴是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，∴＝1＋3(n－1)，∴an＝(3n－2)2n－1∴an＝－52n，n∈N*，則an＝__(3n－2)＋1，∴－3＝，又a1＝1，∴是首項為－2，公比為的等比數(shù)列，∴－3＝－2n－1，∴an＝3n－2n.名師點撥(1)形如an＋1＝pan＋An＋B(p、A、B為常數(shù))的類型，可令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝p(an＋λn＋μ)，求出λ、μ的值即可知{an＋λn＋μ}為等比數(shù)列，進而可求an.(2)形如an＋1＝pan＋Aqn(p、A為常數(shù))的類型．當p≠q時，可令an＋1＋λqn＋1＝p(an＋λqn)，求出λ的值即可知{an＋λqn}是等比數(shù)列，進而可求an，當p＝q時可化為＝＋A即－＝A(常數(shù))知為等差數(shù)列，進而可求an.〔變式訓練4〕在數(shù)列{an}中，(1)a1＝1，an＝(n≥2)，則an＝____；(2)若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，則an＝__－53n＋1＝2(an＋λ福建福清校際聯(lián)盟期中聯(lián)考)已知Sn為數(shù)列{an}前n項和，若a1＝，且an＋1＝(n∈N*)，則6S100＝( A )A．425 B．428C．436 D．437[分析] 由遞推公式逐項求解，探求規(guī)律．[解析] 由數(shù)列的遞推公式可得：a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝－2，a5＝＝＝a1，據(jù)此可得數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列，則：6S100＝625＝．角度3 數(shù)列的最大、小項問題例9 已知數(shù)列{an}的通項公式an＝(n＋1)n，則數(shù)列{an}中的最大項是第__10__項．[解析] 解法一：∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n，當n9時，an＋1－an0，即an＋1an；當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當n9時，an＋1－an0，即an＋1an，∴該數(shù)列中有最大項，為第10項，且a9＝a10＝109.解法二：根據(jù)題意，令(n≥2)，即解得9≤n≤10.又n∈N*，∴n＝9或n＝10，∴該數(shù)列中有最大項，為第10項，且a9＝a10＝109.名師點撥(1)解決數(shù)列周期性問題的方法：先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．(2)判斷數(shù)列單調(diào)性的方法：①作差(或商)法；②目標函數(shù)法：寫出數(shù)列對應的函數(shù)，利用導數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對應到數(shù)列中去．(3)求數(shù)列中最大(小)項的方法：①根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷；②利用不等式組求出n的值，進而求得an的最值．〔變式訓練3〕(1)(角度1)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實數(shù)k的取值范圍為( D )A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)(2)(角度3)數(shù)列{an}的通項公式an＝，則數(shù)列{an}中的最小項是( B )A．3 B．19C． D．(3)(角度2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，則a2 022等于____.[解析] (1)因為an＋1－an＝－＝，由數(shù)列{an}為遞減數(shù)列知，對任意n∈N*，an＋1－an＝0，所以k3－3n對任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．(2)令f(x)＝x＋(x0)，運用基本不等式得f(x)≥2，當且僅當x＝3時等號成立．因為an＝n＋，所以n＋≥2，由于n∈N*，不難發(fā)現(xiàn)當n＝9或n＝10時，an＝19最小，故選B．(3)由已知得a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－，…，由此可知數(shù)列{an}的項是以3為周期重復出現(xiàn)的，而2 022＝3674，因此a2 022＝a3＝.名師講壇….又n＝1時，＝1，故數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列．從而＝3，即an＝.故選A．解法三：當n＝1時，選項A為1，B為1，C為，D為1，否定C，當n＝2時，
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