20xx屆天津市第八中學(xué)高三下學(xué)期第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試題(含解析)(參考版)
2025-04-03 00:25本頁(yè)面
【正文】 =，解得h=∈［0，2］．所以線段的長(zhǎng)為.點(diǎn)睛：本題主要考查空間向量的應(yīng)用，線面平行的證明，二面角問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.【分析】(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程；(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達(dá)式，最后利用直線垂直的充分必要條件得到關(guān)于斜率的方程，解方程可得直線的斜率.【詳解】(Ⅰ) 設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，又，可得，b=2，c=1.所以，橢圓方程為.(Ⅱ)由題意，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線的斜率，在中，令，得.由題意得，所以直線的斜率為.由，得，化簡(jiǎn)得，從而.所以，直線的斜率為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)?，以及用方程思想解決問(wèn)題的能力.19．已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且公比大于，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2），.【分析】（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）用錯(cuò)位相減法求和．【詳解】（1）數(shù)列公比為，則，∵，∴，∴，的公差為，首項(xiàng)是，則，∴，解得．∴．（2），數(shù)列的前項(xiàng)和記為，①，②①－②得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及錯(cuò)位相減法求和．在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式時(shí)，基本量法是最基本也是最重要的方法，務(wù)必掌握，數(shù)列求和時(shí)除公式法外，有些特殊方法也需掌握：錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組（并項(xiàng)）求和法等等．20．設(shè)函數(shù)， ．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值；（2）證明詳見(jiàn)解析.【詳解】試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.（Ⅰ）先對(duì)求導(dǎo)，令解出，將函數(shù)的定義域斷開(kāi)，列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，所以由表格知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，同時(shí)也是最小值；（Ⅱ）利用第一問(wèn)的表，知為函數(shù)的最小值，如果函數(shù)有零點(diǎn)，只需最小值，從而解出，下面再分情況分析函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn).試題解析：（Ⅰ）由，（）得.由解得.與在區(qū)間上的情況如下：所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區(qū)間上的最小值為.因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上僅有
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