【正文】 ==考點(diǎn)：三角形全等的證明與性質(zhì)．。∴∠FCP=∠GCE=60176。 ∴∠FCE+∠GCE=120176。 ∴∠CBF=∠CDG ∵CD=BC DG=BF ∴△CDG≌△CBF∴CG=CF ∠DCG=∠FCE ∵PG=PF ∴CP⊥PF ∠GCP=∠FCP∵∠DCP=180－∠ABC=120176?！摺螩BF=180176。 CD=CB BF=EF=DG ∴△CDG≌△CBF∴CG=CF ∵PG=PF ∴CP⊥GF（3）如圖：CP⊥GF仍成立理由如下：過D作EF的平行線，交FP延長于點(diǎn)G連接CG、CF證△PEF≌△PDG ∴DG=EF=BF ∵DG∥EF ∴∠GDP=∠EFP ∵DA∥BC ∴∠ADP=∠PEC∴∠GDP－∠ADP=∠EFP－∠PEC ∴∠GDA=∠BEF=60176。 在Rt△ADH中 sin∠DAH=∴AD=∴BE=AB=4=1 ∵EF∥AD ∴∠PDG=∠PEB ∵P為DE的中點(diǎn) ∴PD=PE∵∠DPG=∠EPF ∴△PDG≌△PEF ∴DG=EF ∵EF∥AD AD∥BC ∴EF∥BC∴∠FEB=∠CBA=60176。 ∴∠DAH=∠ABC=60176。根據(jù)Rt△ADH的正弦值得出AD的長度，然后得出BE的長度，然后證明△PDG≌△PEF，得出DG=EF，根據(jù)EF∥AD，AD∥BC得出EF∥BC，則說明△BEF為正三角形，從而得出DG的長度；（2）連接CG、CF，根據(jù)△PDG≌△PEF得出PG=PF，然后證明△CDG≌△CBF，從而得到CG=CF，根據(jù)PG=PF得出垂直；（3）過D作EF的平行線，交FP延長于點(diǎn)G，連接CG、CF證△PEF≌△PDG，然后證明△CDG≌△CBF，從而得出∠GCE=120176。則∠DAH=∠ABC=60176。若點(diǎn)E在AB的延長線上，EF∥AD，EF=BE，點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)，連接FP并延長交AD于點(diǎn)G．（1）過D作DHAB,垂足為H，若DH=，BE=AB,求DG的長；（2）連接CP，求證：CPFP；（3）如圖2，在菱形ABCD中，ABC=60176。 ∴AD⊥BQ；(2)、小慧思考問題的方式中，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是：分類討論思想；拓展延伸：四邊形MNPT是正方形，理由：∵取AB、BD、DQ、AQ的中點(diǎn)M、N、P、T， ∴MNAD，TPAD， ∴MNTP，∴四邊形MNPT是平行四邊形， ∵NPBQ，BQ=AD， ∴NP=MN， ∴平行四邊形MNPT是菱形，又∵AD⊥BQ，NP∥BQ，MN∥AD， ∴∠MNP=90176。即可得出答案．試題解析：(1)、成立，理由：如圖乙：由題意可得：∠FDE=∠QDC=∠ABC=∠BAC=45176。由△PAB≌△PCB可知，∠BPA=∠BPC=176。．∴∠BPC=∠PCE=176。﹣176。﹣∠CBP﹣∠PCE）=（180176。）=176?！嘣凇鱌EC中，∠PCE=∠PEC=（180176?！唷鱌AE是等腰直角三角形，∠PAE=∠PEA=45176。又∵∠PEC+∠PEB=180176。．∵PB=PB，∴△PAB≌△PCB （SAS）．②由△PAB≌△PCB可知，∠PAB=∠PCB．∵∠ABE=∠APE=90176。由△PAB≌△PCB得出∠BPA=∠BPC=176。即可求出；（3）先求出∠CPE=∠PEA=45176。得出∠PEC=∠PCB，從而證出PE=PC；（2）根據(jù)PA=PC，PE=PC，得出PA=PE，再根據(jù)∠APE=90176。再根據(jù)PB=PB，即可證出△PAB≌△PCB，②根據(jù)∠PAB+∠PEB=180176。EH＝GF，∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．∴．（3）△GFC的面積不能等于2．說明一：∵若S△GFC＝2，則12－a＝2，∴a＝10．此時，在△BEF中，．在△AHE中，∴AH＞AD，即點(diǎn)H已經(jīng)不在邊AD上，故不可能有S△GFC＝2．說明二：△GFC的面積不能等于2．∵點(diǎn)H在AD上，∴菱形邊EH的最大值為，∴BF的最大值為．又∵函數(shù)S△GFC＝12－a的值隨著a的增大而減小，∴S△GFC的最小值為．又∵，∴△GFC的面積不能等于2．13．如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線BD上一動點(diǎn)（P與B、D不重合），∠APE=90176?！唷螦HE＝∠BEF．又∵∠A＝∠B＝90176。EH＝EF，∴∠AEH＋∠BEF＝90176。∴∠MCN=135176?！唷螦EM=135176?！螦MN∠AMB=180176。．在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（2）解：結(jié)論成立；理由：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90176。．∵N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，∴∠ACN=60176。∠B∠AMB=∠MAE，BE=ABAE=BCMC=BM，∴∠BEM=60176。AB=BC．∴∠NMC=180176。則AM=MN是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由．（3）若將（2）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形A1A2…An“，其它條件不變，請你猜想：當(dāng)∠An﹣2MN=_____176。時，猜想此時線段CF，AE，OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論不必證明．【答案】（1）OE＝OF．理由見解析；（2）補(bǔ)全圖形如圖所示見解析，OE＝OF仍然成立；（3）CF＝OE+AE或CF＝OE﹣AE．【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂線，即可判定，得出OE=OF；（2）先延長EO交CF于點(diǎn)G，通過判定，得出OG=OE，再根據(jù)中，即可得到OE=OF；（3）根據(jù)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動，需要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA延長線上時，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)計算即可．【詳解】（1）OE=OF．理由如下：如圖1．∵四邊形ABCD是矩形，∴ OA=OC．∵，∴．∵在和中，∴，∴ OE=OF；（2）補(bǔ)全圖形如圖2，OE=OF仍然成立．證明如下：延長EO交CF于點(diǎn)G．∵，∴ AE//CF，∴．又∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴ AO=CO．在和中，∴，∴ OG=OE，∴中，∴ OE=OF；（3）CF=OE+AE或CF=OEAE．證明如下：①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時．∵，∴，由（2）可得：OF=OG，∴是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，由（2）可得：，∴ CG=AE．又∵ CF=GF+CG，∴ CF=OE+AE；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA延長線上時．∵，∴，同理可得：是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，同理可得：，∴ CG=AE．又∵ CF=GFCG，∴ CF=OEAE．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)和判定，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等，利用矩形的對角線互相平分得全等的邊相等的條件，根據(jù)線段的和差關(guān)系使問題得以解決．11．如圖1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長線上一點(diǎn)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，若∠AMN=60176。OC′＝6，∴∠C′OM＝30176。∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），當(dāng)α＝60176?！唷螼C′M＝90176。時，如圖①，延長OA′經(jīng)過點(diǎn)B，∵OB＝6，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45176。時，延長OA′經(jīng)過