九年級(jí)備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)解答題壓軸題提高專(zhuān)題練習(xí)及詳細(xì)答案(參考版)
2025-03-31 22:01本頁(yè)面
【正文】 ∴△PFA∽△AEB,∴，即，解得，x= ?1，x=4（舍去）∴x24x=5∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，5），又∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），易得到BP直線(xiàn)為y=4x+1所以BP與x軸交點(diǎn)為（，0）∴S△PAB=【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，特別是利用待定系數(shù)法將兩條直線(xiàn)表達(dá)式解出，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求三角形的面積是關(guān)鍵．11．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，將沿BC所在的直線(xiàn)翻折，得到，連接OD．（1）用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）如圖1，若點(diǎn)D落在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且在x軸上方，求拋物線(xiàn)的解析式．（3）設(shè)的面積為S1，的面積為S2，若，求a的值．【答案】（1）；(2) 拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：；(3) 或【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，得到拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：，即可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即可求解；（3）連接OD交BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H、D分別作x軸的垂線(xiàn)交于點(diǎn)N、M，由三角形的面積公式得到，而，即可求解．【詳解】（1）拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：，即，則點(diǎn)；（2）過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線(xiàn)BQ，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線(xiàn)交y軸于點(diǎn)P、交BQ于點(diǎn)Q，∵，∴，設(shè)：，點(diǎn)，∴，∴，其中：，將以上數(shù)值代入比例式并解得：，∵，故，故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上方時(shí)，連接OD交BC于點(diǎn)H，則，過(guò)點(diǎn)H、D分別作x軸的垂線(xiàn)交于點(diǎn)N、M，設(shè)：，，而，則，∴，則，則，則，則，則，解得：（舍去負(fù)值），解得：（不合題意值已舍去），故：．當(dāng)點(diǎn)C在x軸下方時(shí)，同理可得：；故：或【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用、一次函數(shù)、三角形相似、圖形的面積計(jì)算，其中（3）用幾何方法得出：，是本題解題的關(guān)鍵．12．（12分）如圖所示是隧道的截面由拋物線(xiàn)和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12 m，寬是4 m．按照?qǐng)D中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線(xiàn)可以用y=x2+bx+c表示，且拋物線(xiàn)上的點(diǎn)C到OB的水平距離為3 m，到地面OA的距離為m. （1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離；（2）一輛貨運(yùn)汽車(chē)載一長(zhǎng)方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車(chē)道，那么這輛貨車(chē)能否安全通過(guò)？（3）在拋物線(xiàn)型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過(guò)8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？【答案】（1）拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為y=x2+2x+4，拱頂D到地面OA的距離為10 m；(2)兩排燈的水平距離最小是4 m．【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)點(diǎn)B和點(diǎn)C在函數(shù)圖象上，利用待定系數(shù)法求出b和c的值，從而得出函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出最大值；根據(jù)題意得出車(chē)最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2,0）（或（10,0）），然后求出當(dāng)x=2或x=10時(shí)y的值，與6進(jìn)行比較大小，比6大就可以通過(guò)，比6小就不能通過(guò)；將y=8代入函數(shù)，得出x的值，然后進(jìn)行做差得出最小值．試題解析：（1）由題知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上所以，解得，所以所以，當(dāng)時(shí)，答：，拱頂D到地面OA的距離為10米（2）由題知車(chē)最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2,0）（或（10,0））當(dāng)x=2或x=10時(shí)，所以可以通過(guò)（3）令，即，可得，解得答：兩排燈的水平距離最小是考點(diǎn)：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，﹣），OA=1，OB=4，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，且滿(mǎn)足tan∠OAD=．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿x軸正方形以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線(xiàn)AE以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得△ADC與△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式為y=；（2）①存在t=或t=，使得△ADC與△PQA相似；②當(dāng)t=時(shí)，△APQ與△CAQ的面積之和最大.【解析】分析：（1）應(yīng)用待定系數(shù)法求解析式（2）①分別用t表示△ADC、△PQA各邊，應(yīng)用分類(lèi)討論相似三角形比例式，求t值；②分別用t表示△APQ與△CAQ的面積之和，討論最大值．詳解：（1）∵OA=1，OB=4，∴A（1，0），B（﹣4，0），設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x+4）（x﹣1），∵點(diǎn)C（0，﹣）在拋物線(xiàn)上，∴﹣，解得a=.∴拋物線(xiàn)的解析式為y=.（2）存在t，使得△ADC與△PQA相似．理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=，則tan∠ACO=，∵tan∠OAD=，∴∠OAD=∠ACO，∵直線(xiàn)l的解析式為y=，∴D（0，﹣），∵點(diǎn)C（0，﹣），∴CD=，由AC2=OC2+OA2，得AC=，在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC與△PQA相似，只需或，則有或，解得t1=，t2=，∵t1＜，t2＜，∴存在t=或t=，使得△ADC與△PQA相似；②存在t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大，理由：作PF⊥AQ于點(diǎn)F，CN⊥AQ于N，在△APF中，PF=AP?sin∠PAF=，在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=，在△ADC中，由S△ADC= ，∴CN=，∴S△AQP+S△AQC= ，∴當(dāng)t=時(shí)，△APQ與△CAQ的面積之和最大.點(diǎn)睛：本題為代數(shù)、幾何綜合題，考查待定系數(shù)法、相似三角形判定、二次函數(shù)最值，應(yīng)用了分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想．14．如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線(xiàn)BD交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，并且D（2，3），tan∠D
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