【正文】 =，∴，∴BM=2，∴CM=BC﹣BM=8，在Rt△AMC，AM=，∴EF=AM=2．點睛：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理、相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵．14．已知點O是△ABC內(nèi)任意一點，連接OA并延長到E，使得AE=OA，以OB，OC為鄰邊作?OBFC，連接OF與BC交于點H，再連接EF．（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形，求證：①EF⊥BC；②EF=BC；（2）如圖2，若△ABC為等腰直角三角形（BC為斜邊），猜想（1）中的兩個結(jié)論是否成立？若成立，直接寫出結(jié)論即可；若不成立，請你直接寫出你的猜想結(jié)果；（3）如圖3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，請你直接寫出EF與BC之間的數(shù)量關系．【答案】（1）見解析；（2）EF⊥BC仍然成立；（3）EF=BC【解析】試題分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC，AH⊥BC，根據(jù)勾股定理得到AH=BC，即可；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BC，AH⊥BC，根據(jù)勾股定理得到AH=BC，即可；（3）由平行四邊形的性質(zhì)得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性質(zhì)和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根據(jù)勾股定理得到AH=BC，即可．試題解析：（1）連接AH，如圖1，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，∴AH==BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位線，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如圖2，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（BH）2﹣BH2=BH2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位線，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（3）如圖3，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=kBC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（kBC）2﹣（BC）2=（k2）BC2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位線，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF=BC．考點：四邊形綜合題．15．（本題滿分10分）如圖1，已知矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，若將該紙片沿著過點B的直線折疊（折痕為BM），點A恰好落在CD邊的中點P處．（1）求矩形ABCD的邊AD的長．（2）若P為CD邊上的一個動點，折疊紙片，使得A與P重合，折痕為MN，其中M在邊AD上，N在邊BC上，如圖2所示．設DP＝x cm，DM＝y(tǒng) cm，試求y與x的函數(shù)關系式，并指出自變量x的取值范圍．（3）①當折痕MN的端點N在AB上時，求當△PCN為等腰三角形時x的值；②當折痕MN的端點M在CD上時，設折疊后重疊部分的面積為S，試求S與x之間的函數(shù)關系式【答案】（1）AD＝3；（2）y=－其中，0＜x＜3；（3）x=；（4）S=.【解析】試題分析：（1）根據(jù)折疊圖形的性質(zhì)和勾股定理求出AD的長度；（2）根據(jù)折疊圖形的性質(zhì)以及Rt△MPD的勾股定理求出函數(shù)關系式；（3）過點N作NQ⊥CD，根據(jù)Rt△NPQ的勾股定理進行求解；（4）根據(jù)Rt△ADM的勾股定理求出MP與x的函數(shù)關系式，然后得出函數(shù)關系式.試題解析：（1）根據(jù)折疊可得BP=AB=6cm CP=3cm 根據(jù)Rt△PBC的勾股定理可得：AD＝3．（2）由折疊可知AM＝MP，在Rt△MPD中，∴∴y=－其中，0＜x＜3.（3）當點N在AB上，x≥3， ∴PC≤3，而PN≥3，NC≥3.∴△PCN為等腰三角形，只可能NC＝NP．過N點作NQ⊥CD，垂足為Q，在Rt△NPQ中，∴解得x=．（4）當點M在CD上時，N在AB上，可得四邊形ANPM為菱形．設MP＝y(tǒng)，在Rt△ADM中，即∴ y=．∴ S=考點：函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理.?！螹AN=45176。﹣∠ABC），∵AM=MN∴∠MAN=（180176。+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180176。+∠CAN=180176。∴∠BAM=∠CAN，在△ABM與△ACN中， ，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠B=∠ACN=60176?！螹AN=45176。△BDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．試題解析：(1)理由是：如圖1，∵AB=AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖1，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點F. D. G共線，則∠DAG=∠BAE，AE=AG，∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°?45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG，在△EAF和△GAF中，AF=AF，∠EAF=∠GAF，AE=AG，∴△AFG≌△AFE(SAS)，∴EF=FG=BE+DF；(2)∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；∵AB=AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°,∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，點F. D. G共線，在△AFE和△AFG中，AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF=FG，即：EF=BE+DF，故答案為：∠B+∠ADC=180°；(3)BD2+CE2=DE2.理由是：把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，則∠FAB=∠CAE.∵∠BAC=90°,∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=45°，又∵∠FAB=∠CAE，∴∠FAD=∠DAE=45°，則在△ADF和△ADE中，AD=AD，∠FAD=∠DAE，AF=AE，∴△ADF≌△ADE，∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°，∴∠BDF=90°，∴△BDF是直角三角形,∴BD2+BF2=DF2，∴BD2+CE2=DE2.13．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，在等邊三角形ABC中，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，NC與AB的位置關系為　 ?。唬?）深入探究：如圖②