【正文】 在這里談教學(xué)的藝術(shù)也許我還沒有資格，但是，我們每個老師的內(nèi)心深處，又有哪一個不是在自己的教學(xué)實踐中苦苦追求著課堂教學(xué)的最高境界呢？就像一杯能夠沁人心脾的好茶，需要用心去泡；一節(jié)能夠帶給學(xué)生思維樂趣的數(shù)學(xué)課，需要作為教師的我們用心去創(chuàng)造 。 數(shù)學(xué)的教學(xué)活動由于參與的是人，是教師與學(xué)生之間的思維的活動，因而是一個最有活力的思維過程 ,這 個過程如果被模式化、被各種各樣的條文所限定、所約束（如教師上課只能講 15 分鐘之類的），那么它將失去了思維活動的魅力！失去了教學(xué)活動要關(guān)注學(xué)生思維的意義 。 細(xì)細(xì)品味這段文字，茶藝的精髓又何嘗不是教學(xué)藝術(shù)的追求呢 。 在這一點上，我更希望每一泡茶都是手工制作，這種手工制作是真正的“手工制作”，而不是被程序化了的手工 。 喝什么茶并不重要，關(guān)鍵的是喝得舒心、喝得暢快 …。教師本人是需要每天、每時每刻在思考的。圖形計算器如果起到的作用僅僅是往里頭輸 入符號，這就完全本末倒置了。在這種物質(zhì)條件與硬件設(shè)備過硬的環(huán)境下，如果老師的觀念不改變，或是跟不上，也是沒用的。 在這種理念的指導(dǎo)下，很多學(xué)校投入了大量的資金裝備學(xué)校的計算機(jī)房和教室，各校之間進(jìn)行著 一輪又一輪的競爭 。 而是在課上用幾何畫板軟件先去演示運動的直線，再讓學(xué)生觀察直線的幾何性質(zhì)，學(xué)生通過觀察課件知道了直線過定點如（ 2p， 0），再用直線的方程去證明 。 我們知道解析幾何的教學(xué)目的就是要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用代數(shù)的方法去研究幾何的問題 。 回想剛剛引入計算機(jī)進(jìn)入課堂的初期，上研究課必須要用電腦，只要用了，就比不用強，用電腦成了一節(jié)好課的必要條件 。在函數(shù)性質(zhì)的研究中，利用函數(shù)的解析式是研究函數(shù)性質(zhì)的重要依據(jù)，要在我們的習(xí)題教學(xué)中強化學(xué)生研究解析式的意識，提高研究解析式的能力； 同樣，在解析幾何的教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生研究曲線方程的能力，要能夠通過曲線方程得出曲線的幾何性質(zhì)，并進(jìn)行有效的代數(shù)化； 在立體幾何的解題教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生 關(guān)注幾何體，要能夠通過幾何體這個載體，研究線面的位置關(guān)系；在統(tǒng)計的教學(xué)中，與學(xué)會研究數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù) 。 那么，題型教學(xué)是不是就是屬于關(guān)注思 維共性的教學(xué)呢？其實，從“題型”的字意上就不難看出，這種教學(xué)關(guān)注的是題目的形式，是問題外在的、形式化的共性，而不是思維的本質(zhì)上的共同點 。 學(xué)生的解題能力的提高不是通過解題的數(shù)量的多少能夠決定的，而在于通過解題的思維活動去不斷地概括思維的方法，將思維的共性的東西內(nèi)化到自己的思維模式中 。 它需要教師認(rèn)真的準(zhǔn)備，但不需要表演，哪怕表演得再真實！數(shù)學(xué)的思維是具有邏輯性的，如果把這種思維僵化，模式化，就必然失去其應(yīng)有的意義 。 課堂的魅力在于學(xué)生和老師都要面對許多未知的問題，課堂上存在著許多的不確定的因素，隨著思維活動的展開跌宕起伏 。 就是在一節(jié)課的最后幾分鐘，上課的老師都要找 1 到 2 個同學(xué)談?wù)劇澳氵@節(jié)課又學(xué)了那些東西或數(shù)學(xué)思想” 。 數(shù)學(xué)教學(xué)的改革，一定不能走形式，要實事求是 。 而實際上，由于數(shù)學(xué)這門課的特點，實際上它不適合幾個人圍在一起吵吵嚷嚷就能夠解決的，如果能解決，也一定是沒有什么思維含量的問題 。 幾分鐘之后，剛才還疑惑的問題似乎就有了答案，一節(jié)課又順順當(dāng)當(dāng)?shù)剡M(jìn)行了下去 。 在數(shù)學(xué)課堂中，采取小組討論的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是演繹“合作學(xué)習(xí)”的標(biāo)準(zhǔn)動作 。 而模式化的教學(xué)不是關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，關(guān)注的是這種模式如何更加完美 。 因為人是活的，思維是活的，進(jìn)行教學(xué)的教師就是要能夠在和學(xué)生 的思維的碰撞中不斷地去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、思考問題 。表面的熱鬧之下，實際上是沒有東西的。學(xué)生們肯定看得明白，后面沒旁聽教師就一人堂，一來外人旁聽就組織討論。 楊先生自稱是老人，凈說些老話，對于時代，自謙是落伍者 。 作為教師要能夠克服內(nèi)心的浮躁，要能夠沉下心來，認(rèn)真鉆研我們所要教授的知識 。 課后，聽到一位以改革聞名的外地調(diào)到北京的特級教師的議論是：不就是一節(jié)啟發(fā)式教學(xué)嗎？太傳統(tǒng)了！我無語 。 在當(dāng)時，很多教師很茫然，不知道課堂教學(xué)要向哪個方向發(fā)展才是符合潮流的，一些國外的教育理論盲目的照搬過來很受賞識，而堅守中國教學(xué)傳統(tǒng)的教學(xué)方法倍受壓力 。 我感受最深刻的是關(guān)于啟發(fā)式教學(xué)的爭論 。 在一些類似于“把課堂還給學(xué)生”這樣冠冕堂皇的理念下的數(shù)學(xué)課堂，看不到數(shù)學(xué)思維活動 的過程；看不到教師對教材、對知識的精辟的分析；也看不到充滿思維活力的智慧的碰撞 。 我把自己對于數(shù)學(xué)的理解和思考，我在教學(xué)中的一些心得向外地的同行們做了交流 。我們面對的學(xué)生不一樣，教的對象不一樣，如何能要求講課的學(xué)案是一樣的。 人大附中的課堂沒有學(xué)案，但卻是好的、生動的課堂。 實際上，我看到的好學(xué)案課并不多，或者說看不到，看到更多的是弊端。 在課堂上，只有圍繞著能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維本質(zhì)的有價值的問題組織教學(xué)，我們才可能克服那種以表面活動為基礎(chǔ)，以灌輸為中心的教學(xué)，同時也才能幫助學(xué)生克服那種死記硬背式的學(xué)習(xí)方式。 滿足于正確答案而進(jìn)行的教學(xué)，只能使學(xué)生思考和做事都變得刻板。數(shù)學(xué)本身是一個思考問題的過程，我們要教給學(xué)生的是怎么思考問題的方法，而不是具體的解決一道題的辦法。 因此，從這一角度說，要上好一節(jié)課，是需要下很大的工夫的，需要教師長期的積累，要對所教學(xué)科的每一門課程的特點，整體的知識的脈絡(luò)、結(jié)構(gòu)有著完整的把握 。從這個例子中，你可以看到老師的不規(guī)范語言會給學(xué)生帶來多大的影響。我上周聽了一個老師講函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性的課，但是我并沒有聽出感覺、聽出思維、聽出真正的理 解。只有教給學(xué)生東西的觀念性的、本質(zhì)的，學(xué)生才能受益，只有教師自己從觀念上明白了所教授的內(nèi)容，才能交給學(xué)生真正的數(shù)學(xué)。這樣照本宣科式的教學(xué)不能促進(jìn)學(xué)生深入地思考數(shù)學(xué)問題、不會思考數(shù)學(xué)問題，使得 學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的誤解和學(xué)習(xí)方法的誤解一步步加深。 這些現(xiàn)象的出現(xiàn)很大程度上源于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解是單一、平面化的。 如何才能進(jìn)行有效的觀念性教學(xué)呢 ？以下是我總結(jié)的幾條途徑與關(guān)鍵點： 1. 教學(xué) 富有意義前提是 為了讓 學(xué)生能夠理解問題 如果上課僅僅是做題，講解解題過程，而沒有講知識的本質(zhì)，沒有給學(xué)生揭示出思維層次的東西，那么學(xué)生很難達(dá)到對具體知識的深刻理解。教師的責(zé)任不是讓學(xué)生的數(shù)學(xué)考試考高分，如果有人這樣認(rèn)為的話，那是對自己為之工作一生的職業(yè)的誤解，也是對自己存在價值的褻瀆！數(shù)學(xué)教師要能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，要讓 學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考問題，通過你的數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生能夠為邏輯的力量所折服，所傾倒！數(shù)學(xué)考試得高分不是我們教學(xué)的目的，讓學(xué)生真正從內(nèi)心喜歡思考、喜歡數(shù)學(xué)、學(xué)生的思維具有邏輯性才是我們數(shù)學(xué)教師存在的價值。上這種課的數(shù)學(xué)教師不能說不努力備課，不鉆研教材，但他的教學(xué)水平是停留在怎樣把課本的概念講得再清楚一些，讓學(xué)生記住、會應(yīng)用，并通過大量的練習(xí)讓學(xué)生掌握。所以 橢圓 上的動點到焦點 距離的最大值，或者是最小值都一目了然 了 。如果要從解析幾何的角度來看呢，那我就要找點 A、 B 規(guī)律，軌跡。那這樣的話， 0 到直線距離不 就是 22 嗎？馬上就可以找到一個 a、b 的等量關(guān)系。 就需要找到 a、 b 的等量關(guān)系，得代換，不能兩個變量，兩個自變量 。 例題 6 直線 21ax by??與圓 221xy??相交于 ,AB兩點，且 AOB 是直角三角形，則點 ( , )Pab 與 (0,1) 的距離最大值 __________。所以我們在每個學(xué)科的教育中教給學(xué)生怎么想。那么在 0A? 的前提下，顯然右下區(qū)域就是可以用不等式 0Ax By C? ? ? 來表示，左上區(qū)域那就是0Ax By C? ? ? ， 這樣的一個代數(shù)化，完全可以做的。 那我先從代數(shù)化的觀點來看，代數(shù)化的觀點是什么呢？所以有時候我就拿這樣的很簡單的問題考學(xué)生，比如說， 0( 0)A x B y C A? ? ? ?，我說直線在這個平面上，我說你還能不能進(jìn)一步的做一些代數(shù)化 ， 學(xué)生就什么也看不出來 ， 只能說斜率，交點坐標(biāo)。是這樣一種思維狀態(tài)。我覺得這是解析幾何所面臨的問題。 就 像 我們常常教育學(xué)生那樣：好的學(xué)習(xí)方法，關(guān)鍵是要動腦筋，勤思考一樣，我們作為教師，不能把我們每天的上課看成是機(jī)械的、重復(fù)性的、簡單的體力勞動，而是要研究知識的內(nèi)在規(guī)律，研究教學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，研究學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律 。我原來當(dāng)教研組長的時候， 招聘教師基本都是解析幾何課，講橢圓的性質(zhì)啊，講軌跡等等。然后要求頂點坐標(biāo)，長軸上的兩個頂點 可以由直線 0y? 與 橢圓方程去聯(lián)立 ， 而絕對不是簡簡單單的就是一個看出那個(5,0) 、 ( 5,0)? 。像橢圓的 對稱性，不是靠觀察 得出 關(guān)于 x 軸對稱， 再去證明 關(guān)于 x 軸對稱，關(guān)于 y 軸對稱 而應(yīng)該是 通過方程 尋找 橢圓 的 特點。介紹 頂點的時候，請同學(xué)們繼續(xù)觀察這個橢圓與坐標(biāo)軸有幾個交點 ，其它性質(zhì)也 全是圍繞著這個圖來進(jìn)行。他說，首先拿出預(yù)習(xí)中用描點法畫出橢圓 22125 16xy??所示的圖形，同時呢，計算機(jī)給出作圖過程，糾正學(xué)生作圖中存在的問題。 我們要引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)問題中的自變量的確定及如何影響函數(shù)的因變量的變化的，讓學(xué)生明確函數(shù)的性質(zhì)都是由函數(shù)的自變量的變化引起的，也可以說函數(shù)的性質(zhì)都是針對函數(shù)的自變量的 。那么，既然已經(jīng)知道 2()23f ? ?? ，也就知道一個自變量等于函數(shù)值已經(jīng)知道了，那我就要知道 23? 和 2? ，這倆自變量是什么關(guān)系。學(xué)生有一部分的同學(xué)是怎樣呢？他一看這個圖就想到，我 應(yīng)該 要算 ? ，算 ? ，算 A ，最后再算 (0)f 。 例題 4 32()f x ax bx cx d? ? ? ?的 圖象 如圖所示，則 b 的值一定（ ） A．等于 0 B．大于 0 C．小于 0 D．小于或等于 0 像類似這樣的問題吧， 學(xué)生還是可能會算 ，算的做法是什么呢？ (0) 0f ? ，(2) 0f ? ， ( 2) 0f ??， 然后 就開始算，其實這樣做是不科學(xué)的，因為 (2)f 和 ( 2)f ?的符號 并不能刻畫這個函數(shù)的單調(diào)性， 函數(shù) 極值不一定受它影響 ， 可能 (2)f 甚至是正的，極值根本沒改變 。讓學(xué)生知道，其實 ， 增減增，那是 0a? ； 減增減， 0a? 。你看到單調(diào)性，你不是看熱鬧，你是要看極值，看極值點，看 內(nèi)部的東西。我們應(yīng)該讓 學(xué)生感受到分析一個函數(shù)性質(zhì)，把一個分段函數(shù)看成一個整體函數(shù)的價值所在 。既然是奇函數(shù)的話 ，就可以利用對稱性幫助我們畫圖， 讓學(xué)生體會到研究函數(shù)性質(zhì)的價值在哪里。比 如 這個題 ：函數(shù)212l og , 0()log ( ), 0xxfxxx???? ????? ，這也 是一道高考題。其實如果你要從性質(zhì)的角度來看，上面是減，下面是減函數(shù)，然后由于 x=1 的時候是連續(xù)的，所以他就是一個 減 函數(shù)，一筆下來就完了，根本不用那個連接點跟段。沒有從 ()fx這個函數(shù)的整體去認(rèn)識這個函數(shù)的圖象，要研究的是 什么 呢？是 ()fx的性質(zhì)，而并不是算一個不等式。 這里 也可以先問問學(xué)生，這個函數(shù)圖象分布在哪里，是依次向前都有，還是跟 x 軸有交點，還是僅在某一 象限， 這些都是很