新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5第三講柯西不等式與排序不等式-wenkub.com
2024-11-15 20:23 本頁面
【正文】 + nnac (亂序和 ) 1 2 1nnab a b ??? + n b? . 12,cc n a? 。 第一課時 二維形式的柯西不等式（一） 教學(xué)要求 ：認(rèn)識二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義， 并會證明二維柯西不等式及向量形式 . 教學(xué)重點 ：會證明二維柯西不等式及三角不等式 . 教學(xué)難點 ：理解幾何意義 . 教學(xué)過程 ： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備 ： 1. 提問： 二元均值不等式有哪幾種形式？ 答案： ( 0 , 0 )2ab ab a b? ? ? ?及幾種變式 . 2. 練習(xí)：已知 a、 b、 c、 d為實數(shù)，求證 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c d ac bd? ? ? ? 證法：（比較法） 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c d ac bd? ? ? ?=… .= 2( ) 0ad bc?? 二、講授新課： 1. 教學(xué)柯西不等式： ① 提出定理 1：若 a、 b、 c、 d為實數(shù)，則 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c d ac bd? ? ? ?. → 即二維形式的柯西不等式 → 什么時候取等號？ ② 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？ 證法二：（綜合法） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a c a d b c b d? ? ? ? ? ? 2 2 2( ) ( ) ( )ac bd ad bc ac bd? ? ? ? ? ?. （要點：展開→配方） 證法三：（向量法）設(shè)向量 ( , )m ab? ， ( , )n cd? ，則 22||m a b??， 22||n c d??. ∵ m n ac bd? ? ? ，且 | | | | c os ,m n m n m n? ? ?，則 | | | | | |n m n? . ∴ … .. 證法四：（函數(shù)法）設(shè) 2 2 2 2 2( ) ( ) 2( )f x a b x ac bd x c d? ? ? ? ? ?，則 22( ) ( ) ( )f x ax c bx d? ? ? ?≥ 0 恒成立 . ∴ 2 2 2 2 2[ 2 ( ) ] 4 ( ) ( )a c b d a b c d? ? ? ? ? ? ?≤ 0，即 … .. ③ 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？ 變式： 2 2 2 2 ||a b c d ac bd? ? ? ? 或 2 2 2 2 | | | |a b c d a c b d? ? ? ? 或 2 2 2 2a b c d ac bd? ? ? ?.
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