高二數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想-wenkub.com
2024-11-08 16:43 本頁(yè)面
【正文】 ???? ）（ xFxgxfxgxfxgxf，則)( xF在0?x時(shí)為增函數(shù)， 本題等價(jià)于 函數(shù))( xF為奇函數(shù)，0)3( ??F，且0?x時(shí)，)( xF為增函數(shù)，求0)( ?xF的解集，畫出圖像 （圖 3 24 ） ，不難求出0)( ?xF的解集為（ D ） . 顯然 , ? ? ( ) ( ) 0F x f x g x??的解為? ? ? ?, 3 0 , 3? ? ? 圖 3 21【例 2 】 （ 1991 全國(guó)卷） 已知n為自然數(shù)，實(shí)數(shù)a＞1，解關(guān)于x的不等式： 23121 ( 2 )l o g 4 l o g 1 2 l o g ( 2 ) l o g l o g ( )3nnnaa a a ax x x n x x a???? ? ? ? ? ? ? ． 【 分析及解 】 由l o g l o g l o gnn n aaan x x x??， 不等式的左邊化為 ? ? ? ? ? ?? ?2 3 1 121 2 2 2 2 l o g l o g3nnaaxx? ????? ? ? ? ? ? ? ? ??? 首先，對(duì)n按奇數(shù)和偶數(shù)分類，再畫出圖象求解。 【 例 1 】 （ 2020 湖南卷） 設(shè))(),( xgxf分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)0?x時(shí)，( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x?? ??，且0)3( ??g，則不等式0)()( ?xgxf的解集是（ ） . （ A ）),3()0,3( ??? ? （ B ））3,0()0,3( ?? （ C ）),3()3,( ???? ? （ D ）3,0()3,( ????） 【 分析及解 】)(),( xgxf一為R上奇函數(shù)，一為R上偶函數(shù)，則)()()( xgxfxF ?為奇函數(shù)， 而039。故實(shí)數(shù)a的取值范圍是9a ?. 圖 3 7【例 5 】 已知方程? ?4 4 0x x a x? ? ? ?有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 . 【分析及解】 已知方程化 為? ?44x x a x? ? ?. 作函數(shù)? ?4y x x??的圖象，這是以? ?2 , 0為圓心 , 以 2為半徑 , 在x軸上方的半圓 , 再作函數(shù)? ?4 4 0y a x a x? ? ? ?的圖象 , 這是以a為斜率 .且過? ?0 , 4點(diǎn)的直線 . 已知方程? ?4 4 0x x a x? ? ? ?有兩個(gè)實(shí)數(shù)根就是直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè) AT 切半圓于 T ，由圖 3 8 可知，斜率a應(yīng)滿足 A B A Tk a k??。數(shù)形結(jié)合思想 就是要使抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來 . 華羅庚先生說過 : “數(shù)與形本是兩依倚 , 焉能分作兩邊飛 . 數(shù)缺形時(shí)少直觀 , 形少數(shù)時(shí)難入微 . ” , “切莫忘 , 幾何代數(shù)統(tǒng) 一體 , 永遠(yuǎn)聯(lián)系 , 切莫分離 . ” 高考對(duì) 數(shù)形結(jié)合思想的考查，一方面是通過解 析幾何或者平面向量考查對(duì)一些幾何問題如何用代數(shù)方法來處理 ，另一方面，有一些代數(shù)問題則依靠幾何圖形的構(gòu)造和分析幫助解決，下面僅介紹 200 4 年高考試題中用圖形幫助解題的一些例子。 在使用的過程中，由 “ 形 ” 到 “ 數(shù) ” 的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由 “ 數(shù) ” 到 “ 形 ”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識(shí)，因此，數(shù)形結(jié)合的思想的使用往往偏重于由 “ 數(shù) ” 到“ 形 ” 的轉(zhuǎn)化。 1ABk ??，因?yàn)?AT 為圓的切線，所以，圓心? ?2 , 0到直線? ?4 4 0y a x a x? ? ? ?的距離等于半徑 2 ，即22421aa???，解得34ATk ??， 所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為314a? ? ? ?. TB ( 4 , 0 )A ( 0 , 4 )Oyx圖 3 8【 例 6 】 若方程組 2220,0.xyya x b x y x? ? ? ??? ? ?? 有且僅有三組不同的實(shí)數(shù)解 , 試求,ab應(yīng)滿足的條件 . 【 分析及解 】 方程①可化為 2221122xy? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, 這是以10,2??????為圓心 ,12為半徑的圓 . 方程②可化為? ?10x a x b y? ? ?, 當(dāng)0x ?時(shí) , 代入方程① 得12 0 , 1yy ??, 因此 , 有兩組解? ?0 , 0和? ?0 , 1. 于是 , 方程組22211,221 0 .xya x b y?? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ??只有一組解 , 且這組解不同于? ?0 , 0和? ?0 , 1, 這時(shí) , 只有兩種可能 : ( 1) 直線與圓相切 （圖 3 9 ） ,. ( 2 ) 直線過圓上的? ?0 , 1點(diǎn) （圖 3 10 ） . 當(dāng) 直 線 與 圓 相 切 時(shí) , 有22101122abab? ? ? ???, 即? ?2 4 4 0a b a? ? ?。))39。 （ 1 ）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， ? ?1203n???，不等式化為2l og l og ( )aax x a??， 即化為不等式組220,0,.xxax x a?????????? （ 2 ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， ? ?1203n???，不等式化為2l og l og ( )aax x a??， 即化為不等式組220,0,.xxax x a?????????? 畫出? ? ? ?20,y x x y x a x a? ? ? ? ?圖象，兩個(gè)圖象的交點(diǎn)是 A （圖 3 22 ） . 因?yàn)?x ?，則 2x x a??的解為1 4 12ax???, 則1 4 12Aax??? 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，不等式的解為Axx?, 即1 4 12ax???, 當(dāng) n 為 偶 數(shù) 時(shí) ， 不 等 式 的 解 為Aa x x?, 即1 4 12aax????. 圖 3 22【例 3 】 ( 2020 全國(guó)卷 ) 設(shè)函數(shù)? ?21f x x a x? ? ?, 其中0a ?, 解不等式? ? 1fx ?. 【 分析及解 】 本題只是試題的第 ( Ⅰ ) 問 . 不等式? ? 1fx ?可化為2 11x a x? ? ?
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