高二數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想-在線瀏覽
2025-01-15 16:43本頁面
【正文】 坐標(biāo) , 所以可以不解出方程 , 因此 , 可以借助于圖形求解 . 畫出圓? ? ? ? ? ?222: 1 2 2 2C x y? ? ? ?, 圓心? ?1 , 2C ??直線01 ??? yx的距離 ? ?1 2 122d? ? ? ???, 所以過圓心? ?1 , 2C ??且與 直線01 ??? yx平行的直線與圓的交點(diǎn),AB符合題目要求 . 又因?yàn)閳A的半徑是22, 設(shè)半徑CD垂直于已知直線01 ??? yx, 則 D 到直線01 ??? yx的距離也是2, 于是點(diǎn) D 也符合題目要求 . 因此 符合題目要求的點(diǎn)共有三個(gè) : ,AB, D . 故選 ( C) . 圖 3 32. 對(duì)于 參數(shù)范圍的問題 , 用圖形分析幫助解決問題的關(guān)鍵是討論 參數(shù) 的幾何意義 的 范圍 . 【例 1 】 ( 20 07 全國(guó)Ⅱ卷 , 理，文 ) 函數(shù)s i nyx?的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（ ） A ．???????????， B ．3??????????， C ．??????????， D ．32?????????， 【分析及解】 只要畫出s i nyx?的圖象 （圖 3 4 ） , 就可以得到要選的選項(xiàng) . 圖 3 4 【 例 2 】 （ 1989 全國(guó)卷） 設(shè))( xf是定義在區(qū)間),( ????上以2為周期的函數(shù)，對(duì)于k ? Z，用kI表示區(qū)間]12,12( ?? kk，已知當(dāng)0x ? I時(shí)，2)( xxf ?． （ Ⅰ ）求)( xf在kI上的解析表達(dá)式； （ Ⅱ ）對(duì)自然數(shù)k, 求集合?aMk ?使方程axxf ?)(在kI上有兩個(gè)不相等的實(shí)根 } ． 【 分析及解 】 （ Ⅰ ）由題意，? ? ? ? ? ?22,kf x x k x? ? ? I， （ Ⅱ ）代數(shù)解法需解方程? ?2 k a x??即方程 ? ? ? ?22 4 1 4 0g x x k x k? ? ? ? ? 在區(qū)間]12,12( ?? kk內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，其充要條件是 ? ?? ?? ?224 1 16 0 ,412 1 2 1 ,22 1 0 ,2 1 0.kkkkkgkgk?? ? ? ? ????? ? ? ???????????由這個(gè)不等式組解得k的取值范圍 . 用數(shù)形結(jié)合思想則比較直觀 . 由圖 3 5 中 ， 立即可得 , a的取值范圍為10.21ak??? 圖 3 5【 例 3 】 （ 2020 湖南卷，理） 若圓0104422 ????? yxyx上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線0: ?? byaxl的距離為22, 則直線l的傾斜角的取值范圍是 ( ) . ( A ) 1 2 4????????， ( B )512 12????????， ( C )63????????， ( D )02???????， 【分析及解】 圓0104422 ????? yxyx整理為 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 3 2 )xy? ? ? ?， ∴ 圓心坐標(biāo)為 (2 ， 2) ，半徑為 32， 要 求 圓 上 至 少 有 三 個(gè) 不 同 的 點(diǎn) 到 直 線0: ?? byaxl的距離為22，則圓心到直線0: ?? byaxl的距離d應(yīng)小于等于2（圖 3 6 ） ， ∴ 22| 2 2 |2abdab???≤， ∴ 241aabb? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0， ∴ 2 3 2 3ab??? ? ? ? ? ?????，akb??， ∴ 2 3 2 3k? ? ? ?， 即5ta n ta n ta n12 12?????， 直線l的傾斜角的取值范圍是512 12????????，選 B. 圖 3 6【例 4 】 已知方程2 30x a x? ? ? ?? ?0a ?有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 . 【分析及解】 已知方程化為2 3x a x? ? ?. 作函數(shù)2 ,3y x a y x? ? ? ?的圖象， 已知方程2 30x a x? ? ? ?有兩個(gè)實(shí)數(shù)根就是兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖 3 7 可知，只有3a ?，即9a ?時(shí)。故實(shí)數(shù)a的取值范圍是9a ?. 圖 3 7【例 5 】 已知方程? ?4 4 0x x a x? ? ? ?有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 . 【分析及解】 已知方程化 為? ?44x x a x? ? ?. 作函數(shù)? ?4y x x??的圖象，這是以? ?2 , 0為圓心 , 以 2為半徑 , 在x軸上方的半圓 , 再作函數(shù)? ?4 4 0y a x a x? ? ? ?的圖象 , 這是以a為斜率 .且過? ?0 , 4點(diǎn)的直線 . 已知方程? ?4 4 0x x a x? ? ? ?有兩個(gè)實(shí)數(shù)根就是直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè) AT 切半圓于 T ，由圖 3 8 可知，斜率a應(yīng)滿足 A B A Tk a k??。 當(dāng) 直 線 過 圓 上 的? ?0 , 1點(diǎn)時(shí) , 有01ab? ? ?且. 所以 , 方程組有且僅有三組不同的實(shí)數(shù)解得條件是0a ?且2 44ab ??或1b ??. T1( 0 ,12)Oyx圖 3 91( 0 ,12)Oyx圖 3 103 . 對(duì)于 最大值或最小值的問題 , 用圖形分析幫助解決問題的關(guān)鍵是討論 圖形的極端位置 . 【 例 1 】 ( 200 6 浙江卷 , 理 ) 對(duì),ab ? R, 記? ???? ??babbaaba＜,m a x, 函數(shù) ? ? ? ?m a x 1 , 2f x x x? ? ? ? ?x ? R的最小值是 . 【 分析及解 】 畫出函數(shù)1yx??和2yx??的圖象 （圖 3 11 ） ， 由? ?fx的定義 , 可得 ? ?????????????????????????212211xxxxxf ， 則
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