高二數(shù)學數(shù)形結合思想-展示頁
2024-11-24 16:43本頁面
【正文】 ?的距離為22，且位于1010xyxy? ? ???? ? ??，表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是（ ） A ．( 1 1 )， B ．( 1 1 )? ， C ．( 1 1 )?? ， D ．( 1 1 )?， 【 分析及解 】 畫出1010xyxy? ? ???? ? ??，表示的平面區(qū)域 （圖3 19 ） , 到直線10xy ? ? ?的距 離為22的點在直線2yx??及yx?上 , 顯然 , 符合要求的點在直線yx?上 ,結合選項可得 C. 圖 3 19【例 6 】 設120 xx ?? ? ?, 試比較11sin xax?和22sin xbx?的大小 . 【 分析及解 】 由式子si n xx的結構可知 , si n xx的的幾何意義是連接兩點? ?0 , 0O ? ?, s i nT x x的直線的斜率 ., 于是 , 可以畫出si nyx?的圖象 （圖 3 20 ） ,研究兩點? ?11, s i nA x x和? ?22, s i nB x x與? ?0 , 0O連線的斜率 . 由 圖象可知 ,O A O Bkk ?, 即 ab? . 圖 3 205 . 對于 解方程或不等式的問題 , 用圖形分析幫助解決問題的關鍵是 研究圖像的相對位置或交點的位置。 1ABk ??，因為 AT 為圓的切線，所以，圓心? ?2 , 0到直線? ?4 4 0y a x a x? ? ? ?的距離等于半徑 2 ，即22421aa???，解得34ATk ??， 所以，實數(shù)a的取值范圍為314a? ? ? ?. TB ( 4 , 0 )A ( 0 , 4 )Oyx圖 3 8【 例 6 】 若方程組 2220,0.xyya x b x y x? ? ? ??? ? ?? 有且僅有三組不同的實數(shù)解 , 試求,ab應滿足的條件 . 【 分析及解 】 方程①可化為 2221122xy? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, 這是以10,2??????為圓心 ,12為半徑的圓 . 方程②可化為? ?10x a x b y? ? ?, 當0x ?時 , 代入方程① 得12 0 , 1yy ??, 因此 , 有兩組解? ?0 , 0和? ?0 , 1. 于是 , 方程組22211,221 0 .xya x b y?? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ??只有一組解 , 且這組解不同于? ?0 , 0和? ?0 , 1, 這時 , 只有兩種可能 : ( 1) 直線與圓相切 （圖 3 9 ） ,. ( 2 ) 直線過圓上的? ?0 , 1點 （圖 3 10 ） . 當 直 線 與 圓 相 切 時 , 有22101122abab? ? ? ???, 即? ?2 4 4 0a b a? ? ?。才有可能。 在使用的過程中，由 “ 形 ” 到 “ 數(shù) ” 的轉化，往往比較明顯，而由 “ 數(shù) ” 到 “ 形 ”的轉化卻需要轉化的意識，因此，數(shù)形結合的思想的使用往往偏重于由 “ 數(shù) ” 到“ 形 ” 的轉化。3. 數(shù)形結合思想 數(shù)形結合思想是一種很重要的數(shù)學思想，數(shù)與 形是事物的兩個方面，正是基于對數(shù)與形的抽象研究才產(chǎn)生了數(shù) 學這門學科，才能使人們能夠從不同側面認識事物， 把數(shù)量關系的研究轉化為圖形性質的研究，或者把圖形性質的研究轉化為數(shù)量關系的研究，這種解決問題過程中 “ 數(shù) ” 與 “ 形 ” 相互轉化的研究策略，就是數(shù)形結合的思想。數(shù)形結合思想 就是要使抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來 . 華羅庚先生說過 : “數(shù)與形本是兩依倚 , 焉能分作兩邊飛 . 數(shù)缺形時少直觀 , 形少數(shù)時難入微 . ” , “切莫忘 , 幾何代數(shù)統(tǒng) 一體 , 永遠聯(lián)系 , 切莫分離 . ” 高考對 數(shù)形結合思想的考查，一方面是通過解 析幾何或者平面向量考查對一些幾何問題如何用代數(shù)方法來處理 ，另一方面，有一些代數(shù)問題則依靠幾何圖形的構造和分析幫助解決，下面僅介紹 200 4 年高考試題中用圖形幫助解題的一些例子。 考試中心對考試大綱的說明中強調： “ 在高考中，充分利用選擇題和填空題的題型特點，為考查數(shù)形結合的思想 提供了方便 ，能突出考查考生將復雜的數(shù)量關系轉化為直觀的幾何圖形問題來 解決的意識，而在解答題中，考慮到推理論證的嚴密性，對數(shù)量關系問題的研 究仍突出代數(shù)的方法而不提倡使用幾何的方法，解答題中對數(shù)形結合思想的考查以由 ? 形 ? 到 ? 數(shù) ? 的轉化為主 . ” 這里 只討論運用圖形分析幫助解決問題的例子 . 1. 對于方程或方程組 的 解的個數(shù)問題 , 用圖形分析幫助解決問題的關鍵是討論圖象交點的個數(shù) . 【 例 1 】 ( 200 5 年，上海卷 ) 設定義域為 R 的函數(shù)???????1,01||,1|lg|)(xxxxf，則關于x的方程0)()(2 ??? cxbfxf有 7 個不同實數(shù)解的充要條件是（ ） ( A) 0?b且0?c ( B )0?b且0?c ( C )0?b且0?c ( D )0?b且0?c 【 分析及解 】 畫出函數(shù)? ?xf的圖 象 （圖 3 1 ） , 該圖像關于1x ?對稱 , 且? ? 0?xf, 令? ? txf ?, 若0)()(2 ??? cxbfxf有 7 個不同實數(shù)解 , 則方程02 ??? cbtt有 2 個不同實數(shù)解 , 且為一正根 , 一零根 . 因此 , 0?b且0?c, 故選 ( C ) . 圖 3 1【 例 2 】 （ 2020 湖北卷） 兩個圓0222: 221 ????? yxyxC 與0124: 222 ????? yxyxC的公切線有且僅有（ ） A . 1 條 B . 2 條 C . 3 條 D . 4 條 【 分析及解 】 畫出圓1C和2C（圖 3 2 ） , 可知 , 兩圓相交 , 故只有兩條外公切線 . 圖 3 2 【例 3 】 ( 1991 全國卷 ) 圓0342 22 ????? yyxx 到直線01 ??? yx的距離等于2的點共有（ ） . （ A ） 1 個 ( B ) 2 個 ( C) 3 個 ( D) 4 個 【分析及解】 本題涉及到圓與直線的位置關系 , 為求點的個數(shù) , 就要解方程組 ,有一定的 運 算量 , 但是 , 題目只要求點的個數(shù) , 而不要求點的
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