【正文】 [7]：安玉萍，無窮級數(shù)求和歸類在教學中的應用，吉林建筑工程學院基礎科學部，長春，130118， ，吉林建筑工程學院學報。無窮級數(shù)求和的方法與技巧。我快樂的成長在安工大的校園里。在整個的論文寫作中,其他各位老師、同學和朋友積極的幫助我查資料和提供有利于論文寫作的建議和意見,給予了許多啟示和幫助，在他們的幫助下,論文得以不斷的完善,！不能一一詳述，敬請原諒！同樣感謝這些年來培育我們的全院以及全校老師，雖然有些老師沒有給我直接的幫助，但是今天我可以寫論文的積淀來自他們無聲的支持。好在有張敬和老師的鼎力相助，非常感謝張老師的技術(shù)和知識的協(xié)助，在本人的撰寫過程中,從選題、編寫提綱、資料收集、撰寫、修改、最后定稿,指導老師都給予了具體的悉心指導,付出了大量的心血。 裂項相消法 要點：設, , 則的部分和為 .若 , 則 .也就是說 的和為 .我們稱上述求級數(shù)和的方法為裂項相消法. 利用裂項相消法求級數(shù)的和, 關(guān)鍵是怎樣將級數(shù)的通項拆成前后有抵消部分的形式, 通常經(jīng)過變形, 有理化分子或分母, 三角函數(shù)恒等變形等處理可達到裂項相消的目的. 以下用具體例子來進行說明. 求無窮級數(shù)的和. 解：因為 , 所以 , 于是 .所以 . 如果一個級數(shù)的通項是一個三角函數(shù)式, 則可考慮利用三角函數(shù)公式, 將其化簡為兩式之差以便運用裂項相消法. 求級數(shù) 的和. 解：先考慮變換問題的數(shù)學形式, 由 ,聯(lián)想到正切的差角公式 , 再設 , 則原級數(shù)的部分和為所以 .如果一個級數(shù)的通項是一個分母為若干根式之積的分式, 則可考慮將其分母或分子有理化以便運用裂項相消法.二 利用冪級數(shù)的知識求和 若收斂，則有=，將轉(zhuǎn)化成，對求有如下兩種常用方法：逐項微分求和，逐項積分求和。[6] 微分方程法法 構(gòu)造冪級數(shù)的和函數(shù)時，通過求導運算，得到滿足的微分方程，通過求解微分方程來求出和函數(shù)。三 級數(shù)求和 一 我們先介紹一些簡單易用的求和方法 根據(jù)定義求級數(shù)的和 ，部分和的項數(shù)無限增多，因此為了求的極限，下面我們通過例題加以介紹. 設，求級數(shù)的和. 分析：要尋求之和，只要將其部分和用已知級數(shù)部分和與已知數(shù)列表示出來. 解：因 ，則，于是 . 等差數(shù)列求和（首尾相加法） 等差級數(shù)為簡單級數(shù)類型，通過比較各項得到其公差，并運用公式可求和. ，其中為首項，為公差 證明： ① ， ② ①+②得： 因為等差級數(shù) 所以此證明可導出一個方法“首尾相加法”，此類型級數(shù)將級數(shù)各項逆置后與原級數(shù)四則運算由首尾各項四則運算的結(jié)果相同，便化為一簡易級數(shù)求和. 求.解： ， ，兩式相加得：，即： .故原級數(shù)的和 等比數(shù)列求和（錯位相減法） 等比級數(shù)為簡單級數(shù)類型，通過比較各項得到其公比并運用公式可求和.當=1，；當≠1，其中為首項，為公比. 證明：當=1，易得，當≠1， ① ， ② ，①②得 .可以導出一種方法“錯位相減”，此方法通常適用于等差與等比級數(shù)混合型，通過乘以等比級數(shù)公比，再與原級數(shù)四則運算后化為等差或等比級數(shù)求和. 計算.解： ① ， ② ，②①得： ，=3.故原級數(shù)的和 [5] 分組求和法 ① 此方法的原理：如果收斂，那么收斂，且，當把級數(shù)分成兩個或多個（有限個）收斂級數(shù)的和時，注意一定要保證均收斂。對于任何有限的數(shù)，余項的絕對值為 。第二步： 求出函數(shù)及其各階導數(shù)在的值： ，...，...。如果f能在點的某鄰域上等于其泰勒級數(shù)的和函數(shù)，則稱函數(shù)f在點的這一領域上可以展開成泰勒級數(shù)，并稱等式 (4)的右邊為f在處的泰勒展開式，或稱冪級數(shù)展開式。于是當時，在上一致收斂；當時，由①，在上一致收斂，結(jié)合在上的一致收斂性即得到在上一致收斂?？赏C定理09定理09： 若冪級數(shù)（2）與（5）在點x=0的某鄰域內(nèi)相等，則他們的同次冪項的系數(shù)相等，即定理10： 若冪級數(shù)（2）與（5）的收斂半徑分別為和，則有 式中為常數(shù)，定理11：Abel第二定理 設冪級數(shù)的收斂半徑為R，則① 在上內(nèi)閉一致收斂，即在任意閉區(qū)間上一致收斂；② 若在收斂，則在任意閉區(qū)間上一致收斂。定理05：冪級數(shù)的性質(zhì)① 冪級數(shù)（2）的和函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)；② 若冪級數(shù)（2）在收斂區(qū)間的左（右）端點上收斂，則其和函數(shù)也在這一端點上左（右）連續(xù)在討論冪級數(shù)的逐項求導與逐項求積之前，先要確定冪級數(shù)（2）在收斂區(qū)間上逐項求導與逐項積分后所得到的函數(shù) (3)與 (4)的收斂區(qū)間定理05：冪級數(shù)的性質(zhì) 冪級數(shù)（2）與冪級數(shù)（3），（4）具有相同的收斂區(qū)間。定理07：連續(xù)性 若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則其和函數(shù)在上也連續(xù)注：這個定理指出：在一致收斂條件下，（無限項）求和運算與求極限運算可以交換順序，即 定理08：逐項求積 若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則 定理09：逐項求導 若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上每一項都有連續(xù)的導數(shù)，為的收斂點，且在上一致收斂，則 本篇將討論有冪級數(shù)序列產(chǎn)生的函數(shù)項級數(shù) ， （1）它稱為冪級數(shù)，是一類最簡單的函數(shù)項級數(shù)，從某種意義上說，他也可以看作是多項式函數(shù)的延伸，下面將著重討論，即 ， (2)的情形，因為只要把(2)中的x換成，即得到（1）。07 絕對收斂與更序級數(shù): 若級數(shù)絕對收斂，則它的更序級數(shù)也絕對收斂，且和不變，即 = 。如果一個級數(shù)既有無限個正項，又有無限個負項，那么正項級數(shù)的各種判別法不再適用。如果原級數(shù)含有n次冪的形式,則可考慮用柯西判別法。雷知恩曾證明:任何收斂的正項級數(shù),都有比它收斂得更“快”:任何發(fā)散的正項級數(shù)也有比它發(fā)散得更“慢”,也沒用發(fā)散的最慢的級數(shù),（即逐次建立更有效的判別法的過程）是無限的，雖然每次都能得到新的，適用范圍更廣的判別法，但是這些判別法的證明也變得更加復雜。注：達朗貝爾判別法判與柯西判別法的本質(zhì)都是比較判別法，與之相比較的是幾何級數(shù)：把所有要判斷的級數(shù)與某一幾何級數(shù)相比較的想法而得到的,也就是說,只有那些級數(shù)的通項收斂于零的速度比某一等比級數(shù)收斂速度快的級數(shù),，要求級數(shù)的通項受到（0 r 1）的控制；而在判定級數(shù)發(fā)散時，則是根據(jù)其一般項不趨于零，由于兩者相去甚遠，因此判別法在許多情況下會失效，即便對這樣簡單的級數(shù)，他們都無能為力。該引理告訴我們：若一個正級數(shù)的斂散情況可以由達朗貝爾判別法判定，那么他也一定能用柯西判別法判定。② 若對一切,不等式 成立,則級數(shù)發(fā)散. 證明 ①已知有 或 .又已知幾何級數(shù)收斂,于是級數(shù)收斂. ② 已知存在無限個n,有 或 ,即不趨近于,于是級數(shù)發(fā)散.判別法02+：柯西判別法的極限形式 [4] 正項級數(shù),若 ,則① 當時,級數(shù)收斂。? 由已知條件，有，即，有依據(jù)判別法01：比較判別法，我們可以得到級數(shù)也發(fā)散。（Ⅱ）若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)也發(fā)散. 證明： 設級數(shù)的部分和數(shù)列為級數(shù)的部分和數(shù)列為則顯然有 于是當有上界時也有上界，而當無上界時必定無上界，因此我們有： （Ⅰ）若級數(shù)收斂,：（正項級數(shù)的收斂原理),數(shù)列有上界,從而數(shù)列也有上界,：（正項級數(shù)的收斂原理),級數(shù)收斂. （Ⅱ）若級數(shù)發(fā)散,：（正項級數(shù)的收斂原理),數(shù)列無上界,從而數(shù)列也無上界,再根據(jù)定理1,級數(shù)發(fā)散.注：由于改變級數(shù)有限個項的數(shù)值，并不會改變他的收斂性或發(fā)散性（雖然在收斂的情況下可能改變他的“和”），所以本定理的條件可以放寬為：“存在正整數(shù)N與常數(shù)A ”判別法01+ ：比較判別法的極限形式 設有兩個正項級數(shù)與 ,且 （Ⅰ）若級數(shù)收斂,且，則級數(shù)也收斂。級數(shù)03：P級數(shù) 如前所述它的形式為：（其中是任意實數(shù)），下面討論p級數(shù)的斂散性.(Ⅰ) 當時,就是調(diào)和級數(shù),發(fā)散.(Ⅱ) 當時,根據(jù)比較判別法可知,當p = 1時,p級數(shù)發(fā)散.(Ⅲ) 當時,有