【正文】 C類： 考慮了分配的上下限，又吸取了Shapley的思想，在一定程度上保護弱者。 如 n個單位治理污染 , 通常知道第 i方單獨治理的投資 yi 和 n方共同治理的投資 Y, 及第 i方不參加時其余 n1方的投資 zi (i=1,2, … n). 確定共同治理時各方分擔(dān)的費用。 問三人合作時如何分配獲利？ 記甲乙丙三人分配為 ),( 321 xxxx ?解不唯一 (5， 3， 3) (4， 4， 3) (5， 4， 2) …… 1,321 ?xxx)(1Ivxnii ???niivx i ,2,1),( ?????????212121 ),()()(0)(sssvsvssvv??},2,1{ nI ??集合 (1) Shapley合作對策 滿足實函數(shù)，子集 )( svIs ???[ I,v] ~n人合作對策， v~特征函數(shù) ),( 21 nxxxx ?? ~n人從 v(I)得到的分配，滿足 v(s)~ 子集s的獲利 !)!1()!()(nssnsw ???niisvsvswxiSsi ?,2,1) ] ,\()()[( ??? ??公理化方法 ?s?~子集 s中的元素數(shù)目， Si ~包含 i的所有子集 )( sw ~由 ?s?決定的“貢獻”的權(quán)重 Shapley值 )]\()([ isvsv ? ~ i 對合作 s 的“貢獻” )( si?Shapley合作對策 三人 (I={1,2,3})經(jīng)商中甲的分配 x1的計算 1/3 1/6 1/6 1/3 )]1\()()[( svsvsw ?)(sws)1\()( svsv ?)1\(sv)(sv1S 1 1 2 1 3 I ? ?1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3 x1=13/3 類似可得 x2=23/6, x3=17/6 )]1\()()[(11 svsvswxSs?? ??1 2 2 3 合作對策的應(yīng)用 例 1 污水處理費用的合理分擔(dān) 20km 38km 河流 三城鎮(zhèn)地理位置示意圖 1 2 3 ? 污水處理，排入河流 ?三城鎮(zhèn)可單獨建處理廠，或聯(lián)合建廠 (用管道將污水由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn) ) Q1=5 Q3=5 Q2=3 Q~污水量， L~管道長度 建廠費用 P1= 管道費用 P2= 230)3(,160)2(,230573)1( ????? CCC)35(73)2,1( ???????C)53(73)3,2( ???????C)55(73)3,1( ???????C460)3()1( ??? CC污水處理的 5 種方案 1）單獨建廠 620)3()2()1(1 ???? CCCD總投資 2） 1, 2合作 3） 2, 3合作 4） 1, 3合作 580)3()2,1(2 ??? CCD總 投資 595)3,2()1(3 ??? CCD總投資 合作不會實現(xiàn) 55638)35()535(73)3,2,1(5???????????? CD5）三城合作總投資 D5最小 , 應(yīng)聯(lián)合建廠 建廠費： d1=73?(5+3+5)=453 1?2管道費： d2= ? ?20=30 2?3管道費： d3= ?(5+3) ?38=73 D5 ?城 3建議： d1 按 5:3:5分擔(dān) , d2,d3由城 1,2擔(dān)負 城 2建議： d3由城 1,2按 5:3分擔(dān) , d2由城 1擔(dān)負 城 1計算： 城 3分擔(dān) d1?5/13=174C(3), 城 2分擔(dān) d1?3/13+d3 ?3/8 =132C(2), 城 1分 擔(dān) d1?5/13+d3 ?5/8+ d2 =250C(1) 不同意 D5如何分擔(dān)？ 2 3 0)3(1 6 0)2(2 3 0)1(???CCC0)3()2()1(,0)( ???? vvvv ?}3,2,1{?I集合特征函數(shù) v(s)~聯(lián)合 (集 s)建廠比單獨建廠節(jié)約的投資 ),( 321 xxxx ? ~三 城從 節(jié)約投資 v(I)中得到的分配 4035 016 023 0)2,1()2()1()21( ??????? CCCv ?64556230160230)3,2,1()3()2()1()(0)31(25365230160)3,2()3()2()32(?????????????????CCCCIvvCCCv?? Shapley合作對策 計算 城 1從 節(jié)約投資中得到的分配 x1 )]1\()()[( svsvsw ?)(sws)1\()( svsv ?)1\(sv)(svs 1 1 2 1 3 I ? ?0 40 0 64 0 0 0 25 0 40 0 39 1 2 2 3 1/3 1/6 1/6 1/3 0 0 13 x1 =, 城 1 C(1)x1=, 城 2 C(2)x2=, 城 3 C(3)x3= 三城在總投資 556中的分擔(dān) x2 =, x3= x2最大，如何解釋？ 合作對策的應(yīng)用 例 2 派別在團體中的權(quán)重 90人的團體由 3個派別組成，人數(shù)分別為 40, 30, 20人。 TeAes )1,1,1(, ???級得分向量1~)1,1,2,2()1( TAes ??級得分向量2~)2,1,2,3()1()2( TAss ???????????????0001100011000110A??????EvvEvvajijiij ,0,11 2 3 4 (4) 雙向連通競賽圖 G=(V,E)的名次排序 鄰接矩陣 Tnssss ),( 21 ??得分向量 TT ss )3,3,5,5(,)3,2,3,3( )4()3( ??eAAss kkk ?? ? )1()(?, )( ??? kskTT ss )8,5,8,9(,)5,3,6,8( )6()5( ????TT ss )13,9,17,21(,)9,8,13,13( )8()7( ??雙向連通競賽圖的名次排序 ? 對于 n(3)個頂點的雙向連通競賽圖，存在正整數(shù) r，使鄰接矩陣 A 滿足 Ar 0， A稱 素陣 seA kkk??? ?lim? 素陣 A的最大特征根為正單根 ?，對應(yīng)正特征向量 s， 且 eAAss kkk ?? ? )1()(?????????????0001100011000110A排名為 {1， 2， 4， 3} ssk k ??? )(, )( 歸一化后Ts ),(,???用 s排名 1 2 3 4 (4) {1, 2, 3, 4}? ???????