【正文】 (2) 已 知 PA=4,AB=5,PC=3, 求 PD 的 長(zhǎng) 。 ? 兩個(gè)定理 1． 面面平行的判定定理 ☆ 2． 面面平行的性質(zhì)定理 ☆ ? 一個(gè)思想 化歸思想 ???b a ?A ??ab? 判定定理 :一個(gè)平面內(nèi) 兩條 相交直線 分別平行于 另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行 . 結(jié)論： 如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面的直線一定平行于另一個(gè)平面。 山東卷 )如圖 ， 在直四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中 ， 底面 ABCD為等腰梯 形 ， AB∥ CD， AB＝ 4， BC＝ CD＝ 2， AA1＝ 2， E、 E F分別為棱 AD、 AA AB的中點(diǎn) ， 求證：直線 EE1∥ 平面 FCC1. 思維點(diǎn)撥： 在平面 FCC1中找一條線平行于 EE1或證平面 ADD1A1∥ 平面 FCC1均可 . 【 例 】 證明：證法一： 取 A1B1的中點(diǎn)為 F1，連結(jié) FF1， C1F1，由于 FF1∥ BB1∥ CC1，所以 F1∈ 平面 FCC1，因此平面 FCC1即為平面 A1D， F1C，由于A1F1 D1C1 CD，所以四邊形 A1DCF1為平行四邊形，因此 A1D∥ EE1∥ A1D，得 EE1∥ F1C，而 EE1?平面 FCC1， F1C?平面 FCC1，故 EE1∥ 平面FCC1. 證法二： 因?yàn)?F為 AB的中點(diǎn)， CD=2， AB=4， AB∥ CD， 所以 CD AF，因此四邊形 AFCD為平行四邊形，所以 AD∥ CC1∥ DD1， FC∩CC1=C， FC?平面 FCC1， CC1?平面 FCC1，所以平面ADD1A1∥ 平面 FCC1，又 EE1?平面 ADD1A1，所以 EE1∥ 平面 FCC1. 如圖所示，在正方體 ABCD— A1B1C1D1中 ， O為正方形 ABCD的中 點(diǎn)， 求證 ： B1O∥ 平面 A1C1D. 變式 1： 證明： 分別連結(jié) BD和 B1D1， 則 O∈ BD且 A1C1∩B1D1＝ O1. ∵ BB1綊 DD1， ∴ BB1D1D是平行四邊形． ∴ BD綊 B1D1， ∴ OD綊 O1B1. 連結(jié) O1D，則四邊形 B1ODO1是平行四邊形， ∴ B1O∥ DO1. ∵ DO1?平面 A1C1D， B1O?平面 A1C1D， 且 B1O∥ DO1， ∴ B1O∥ 平面 A1C1D. 已知 ABCD是平行四邊形，點(diǎn) P是平面 ABCD外一點(diǎn)， M是 PC的中點(diǎn)， 在 DM上取一點(diǎn) G，過(guò) G和 AP作平面交平面 BDM于 GH，求證： AP∥ GH. 思維點(diǎn)撥： 先將三角形中位線的線線平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面平行， 然后由線面平行轉(zhuǎn)化為所要證明的線線平行． 【 例 】 證明： 如圖所示，連結(jié) AC，交 BD于 O，連結(jié) MO， 由 ABCD是平行四邊形得 O是 AC的中點(diǎn)．又 M是 PC的中點(diǎn)， 知 AP∥ OM， AP?平面 BMD， DM?平面 BMD，故 PA∥ 平面 BMD. 由平面 PAHG∩平面 BMD＝ GH，知 PA∥ GH. 如圖所示，正方體 ABCD－ A1B1C1D1中． (1)求證：平面 A1BD∥ 平面 B1D1C； (2)若 E、 F分別是 AA CC1的中點(diǎn)， 求證：平面 EB1D1∥ 平面 FBD. 思維點(diǎn)撥： (1)證 BD∥ 平面 B1D1C， A1D∥ 平面 B1D1C； (2)證 BD∥ 平面 EB1D1， DF∥ 平面 EB1D1. 【 例 】 證明： (1)由 B1B綊 DD1，得四邊形 BB1D1D是平行四邊形， ∴ B1D1∥ BD，又 BD?平面 B1D1C， B1D1?平面 B1D1C， ∴ BD∥ 平面 A1D∥ 平面 B1D1C. 而 A1D∩BD＝ D， ∴ 平面 A1BD∥ 平面 B1D1C. (2)由 BD∥ B1D1，得 BD∥ 平面 EB1D1. 取 BB1中點(diǎn) G，得 AE綊 B1G，從而 B1E∥ AG. 又 GF綊 AD， ∴ AG∥ DF. ∴ B1E∥ DF， ∴ DF∥ 平面 EB1D1. 又 BD∩DF＝ D， ∴ 平面 EB1D1∥ 平面 FBD. 如圖所示，三棱柱 ABC－ A1B1C1中， D是 BC上一點(diǎn)， 且 A1B∥ 平面 AC1D， D1是 B1C1的中點(diǎn)． 求證：平面 A1BD1∥ 平面 AC1D. 變式 3： 證明 ： 如圖所示，連結(jié) A1C交 AC1于 E. ∵ 四邊形 A1ACC1是平行四邊形， ∴ E是 A1C的中點(diǎn)，連結(jié) ED. ∵ A1B∥ 平面 AC1D， 平面 A1BC∩ 平面 AC1D=ED， ∴ A1B∥ ED. ∵ E是 A1C的中點(diǎn) ， ∴ D是 BC的中點(diǎn)． ∵ D1是 B1C1的中點(diǎn) ， BD1∥ C1D， A1D1∥ AD， 又 A1D1∩ BD1=D1， ∴ 平面 A1BD1∥ 平面 AC1D. ??ab?∥ ? ,?求證 : 已知 : a b∥ ,a?? ? .b?? ?所以 證明 : ? ?因?yàn)? ∥ , ? ?所以 與 沒(méi)有公共點(diǎn) , a b因而交線 , 也沒(méi)有公共點(diǎn) , ?a b又因?yàn)? , 都在平面 內(nèi) , a .b∥ 知識(shí)點(diǎn)四、兩個(gè)平面平行的性質(zhì) : 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行． 性質(zhì)定理： 化歸思想 合作探究： 如果兩個(gè)平面平行，那么 （１）一個(gè)平面內(nèi)的直線是否平行于另一個(gè)平面 ? （２）分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是否平行？ 對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題根據(jù)線面平行和面面平行的概 念可知正確． 第二個(gè)問(wèn)題有兩中可能：分別是平行或異面 . （ 3）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面是否平行。G N M F E D C B A H 例： 如圖所示，平面 ABCD∩平面 EFCD = CD， M、 N、 H 分別是 DC、 CF、 CB 的中點(diǎn)， 求證 平面 MNH // 平面 DBF 例 . 正方體 ABCD A1B1C1D1 中 , 求證 :平面 AB1D1//平面 C1BD A D1 D C B A1 B1 C1 例：已知 : 在正方體 ABCDA1B1C1D1中 , E、 F分別是 CC AA1的中點(diǎn)， 求證 : 平面 BDE//平面 B1D1F A D1 D C B A1 B1 C1 E F G 如圖所示，正方體 ABCD－ A1B1C1D1中． (1)求證：平面 A1BD∥ 平面 B1D1C； (2)若 E、 F分別是 AA CC1的中點(diǎn)， 求證：平面 EB1D1∥ 平面 FBD. 思維點(diǎn)撥： (1)證 BD∥ 平面 B1D1C， A1D∥ 平面 B1D1C； (2)證 BD∥ 平面 EB1D1， DF∥ 平面 EB1D1. 【 例 】 證明： (1)由 B1B綊 DD1，得四邊形 BB1D1D是平行四邊形， ∴ B1D1∥ BD，又 BD?平面 B1D1C， B1D1?平面 B1D1C， ∴ BD∥ 平面 A1D∥ 平面 B1D1C. 而 A1D∩BD＝ D， ∴ 平面 A1BD∥ 平面 B1D1C. (2)由 BD∥ B1D1，得 BD∥ 平面 EB1D1. 取 BB1中點(diǎn) G，得 AE綊 B1G，從而 B1E∥ AG. 又 GF綊 AD， ∴ AG∥ DF. ∴ B1E∥ DF， ∴ DF∥ 平面 EB1D1. 又 BD∩DF＝ D， ∴ 平面 EB1D1∥ 平面 FBD. 如圖所示，三棱柱 ABC－ A1B1C1中， D是 BC上一點(diǎn)， 且 A1B∥ 平面 AC1D， D1是 B1C1的中點(diǎn)． 求證：平面 A1BD1∥ 平面 AC1D. 變式 3： 證明 ： 如圖所示，連結(jié) A1C交 AC1于 E. ∵ 四邊形 A1ACC1是平行四邊形， ∴ E是 A1C的中點(diǎn)，連結(jié) ED. ∵ A1B∥ 平面 AC1D， 平面 A1BC∩ 平面 AC1D=ED， ∴ A1B∥ ED. ∵ E是 A1C的中點(diǎn) ， ∴ D是 BC的中點(diǎn)． ∵ D1是 B1C1的中點(diǎn) ， BD1∥ C1D， A1D1∥ AD， 又 A1D1∩ BD1=D1， ∴ 平面 A1BD1∥ 平面 AC1D. ②當(dāng) AB與 CD異面時(shí)，設(shè)平面 ACD∩β=DH，且 DH=AC. ∵ α∥ β， α∩平面 ACDH=AC， ∴ AC∥ DH， ∴ 四邊形 ACDH是平行四邊形， 在 AH上取一點(diǎn) G，使 AG∶