函數(shù)極限與連續(xù)知識梳理-wenkub.com
2025-07-22 05:19 本頁面
【正文】 .注：此題也可用微分中值定理去求。 這題雖然是“”型，但直接用洛必達(dá)法則或等價量替代，都不能求出結(jié)果。 ，故由且，由夾逼定理知而當(dāng)充分小時，在上對應(yīng)用拉格朗日定理得，其中。 故解法二八、雜題例43 已知解故。例41解解又所以是函數(shù)的第一類（可去）間斷點。例38又在處連續(xù)，由歸結(jié)原則，（ii）當(dāng)時，由條件得是常值數(shù)列。例37 由閉區(qū)間上連續(xù)，則在一定能取到最小值，最大值M，且值域,有又，于是。注：這里區(qū)間X可以是閉區(qū)間、開區(qū)間、半閉半開區(qū)間或無窮區(qū)間。例34六、關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用和間斷點的討論。2．若例321．若極限不存在。解法二由。分析：這里表面上沒有字母常數(shù)，實際上 就是待求的字母常數(shù)。 （1）必有，與（1）矛盾，若。 已知為常數(shù)，求常數(shù)a和k，使時，解例27 令，于是原式，由，知分子當(dāng)時，是分母的同階無窮小量，所以.得原式。四、已知函數(shù)極限且函數(shù)表達(dá)式中含有字母常數(shù)，確定字母常數(shù)數(shù)值。除非要求用定義證，且考研出這種題的可能性較小。 對任意自然數(shù) .由，根據(jù)夾逼定理知，.例23 由于,，所以 .對于求時的函數(shù)極限，若用泰勒公式求極限，可令，變成求時的的函數(shù)極限，再利用上述的方法去解決。 求.無限循環(huán)，所以不能用洛必達(dá)法則.解 求.分析 .例17.例15 原式 求.解法一 求.解 求.解 例8 原式 由，故原式=.解法二 .例5 求.解解 ,由得原式=。 求.解已知函數(shù)的表達(dá)式三、已知函數(shù)的表達(dá)式，求函數(shù)的極限1．求函數(shù)極限的四種重要方法（1）極限的四則運算；（2）等價量替換；（3）變量替換；（4）洛必達(dá)法則。（ii）當(dāng)時，（iii）當(dāng)時這時，只有化成以e為底的指數(shù)函數(shù)，再利用洛必達(dá)法則。即解法一2．在用洛必達(dá)法則求極限之前，應(yīng)盡可能把函數(shù)化簡，或把較復(fù)雜的因式用簡單等價的因式來替換，以達(dá)到簡化，再利用洛必達(dá)法則。函數(shù)的單調(diào)有界定理應(yīng)用的較少，大家只要了解就可以。 若 ，且存在的某空心鄰域，使得對一切，都有，則 。 解題基本方法與技巧一、求函數(shù)極限的有關(guān)定理等價量替換定理，若（1）；（2）；，則.證,即.這個定理告訴我們，在求函數(shù)極限時，分子、分母中的因式可用它的簡單的等價的量來替換，以便化簡，容易計算。例如 。 2. 若函數(shù)上連續(xù)，且之間的任何常數(shù)，則至少存在一點。在這里，我們巧妙地利用可去間斷點的性質(zhì)，構(gòu)造一個連續(xù)函數(shù)，以滿足所需的條件，上面的性質(zhì)2及推論也是求函數(shù)極限的一個重要方法。 若。五、函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)若函數(shù)處連續(xù)，即，利用極限的性質(zhì)15可得到函數(shù)在連續(xù)的局部有界性，局部保號性，不等式等，只要把即可，讀者自己敘述出來。性質(zhì)8（歸結(jié)原則或海涅（Heine）定理）存在的充要條件是：都存在且相等。性質(zhì)6是求極限的一個重要方法——變量替換法，即。性質(zhì)4（局部保號性）
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