【正文】 [a,b]，使得f(x)=C定理3（零點定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點x206。x,x163。0例6考察函數(shù)f(x)=237。0,x=0解 略例5考察函數(shù)f(x)=237。236。間斷點237。x02間斷點的分類236。,+165。1,x=0238。sinx,x185。x0定義3 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，若x174。x0又Dy=f(x0+Dx)f(x0)即f(x)=f(x0)+Dy故Dy174。第五篇：函數(shù)極限與連續(xù)教案第四講Ⅰ 授課題目（章節(jié)）：函數(shù)的連續(xù)性Ⅱ 教學(xué)目的與要求：正確理解函數(shù)在一點連續(xù)及在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義；了解初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的、基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的；了解初等函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性； 6 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)重點與難點：重點：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，間斷點，初等函數(shù)的連續(xù)性難點：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)Ⅳ 講授內(nèi)容：一 連續(xù)函數(shù)的概念函數(shù)的增量定義1設(shè)變量u從它的初值u0變到終值u1，終值與初值之差u1u0，稱為變量u的增量，或稱為u的改變量，記為Du，即Du=u1u0Dx=x1x0Dy=f(x0+Dx)f(x0)函數(shù)的連續(xù)性定義2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量Dx趨近于零時，相應(yīng)函數(shù)的增量Dy也趨近于零，即limDy=0或 Dx174。238。設(shè)函數(shù)f(x)=237。但f(1)不存在，所以x=1是可去間斷點236。)1x=2同上已知：f(x)=sin2x+ln(13x)+2limf(x)，求f(x) x174。（6）00型：1）lim+xsinx=1 x174。=e^(1/2)x174。0 =e^(4)=e^(2/5)1sin5x1246。165。3x1246。165。2246。2248。arctanx247。2（4）0165。arccosx)=π/34)xlim174。x1lnx247。x174。232。型：1）lim230。0+lnsin2x=1lim2n+1+3n+12）n174。0xsin2x2。0x1e2x。(0,0)1+x2+y2x2y2lim3=12；lim(12xy)x=1x174。xsin+bx238。xsinx239。1的定義域R ；連續(xù)區(qū)間(oo,1),(1,+oo)239。ex2x163。x248。1247。232。lim231。1x174。以上關(guān)于二元函數(shù)的在G上一致連續(xù),即極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。在閉域G上連續(xù)。定義增量。我們有下面的結(jié)果:定理1 若累次極限都存在,則三者相等（證明略）。例8設(shè)函數(shù)極限都不存在,因為對任何,當(dāng)時,。解由于理知且,所以根據(jù)夾逼定.例7研究函數(shù)在點處極限是否存在。解由于,而,根據(jù)夾逼定理知,所以。這是判斷多一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論, 在二元函數(shù)極限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。只要P與 充與A 接近到預(yù)先任意指定的程度。以上關(guān)于二元函數(shù)的在G上一致連續(xù),即極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。在閉域G上連續(xù)。定義增量。我們有下面的結(jié)果: 定理1 若累次極限都存在,則三者相等（證明略）。例8 設(shè)函數(shù)極限都不存在,因 為對任何,當(dāng)時,。解由于理知且,所以根據(jù)夾逼定.例7 研究函數(shù)在點處極限是否存在。解由于 , 而,根據(jù)夾逼定理知,所以。這是判斷多 一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論, 在二元函數(shù)極限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。只要P與 充與A 接近到預(yù)先任意指定的程度。f(P2)=min{f(P)P206。D,有f(P)163。(0, 0)xy+11xy.(xy+11)(xy+1+1)xy(xy+1+1)解: lim(x,y)174。D,而任何鄰域都是區(qū)域, 所以U(P0)是f(x,y)的一個定義區(qū)域, 因此(x,y)174。p0例8：求lim(x,y)174。1}, 圓周C={(x, C上沒有定義, 當(dāng)然f(x,y)在y)|x2+y2=1}上的點都是D的聚點, 而f(x,y)在C上各點都不連續(xù), 所以圓周C上各點都是該函數(shù)的間斷點.注: 間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點.可以證明, 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)。x+y,22239。(x0,y0)sinx=sinx0=f(x0,y0), 所以函數(shù)f(x,y)=sinx在點P0(x0,y0)連續(xù). 由P0的任意性知, sinx作為x,y的二元函數(shù)在R2上連續(xù).類似的討論可知, 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時, 它們在各自的定義域內(nèi)都是連續(xù)的.定義4:設(shè)函數(shù)f(x,y)的定義域為D,P0(x0,y0)是D的聚點. 如果函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)不連續(xù), 則稱P0(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的間斷點.236。U(P0,d)時, 顯然 f(x,y)f(x0,y0)=sinxsinx0e即f(x,y)=sinx在點P0(x0,y0)連續(xù). 由P0的任意性知, sinx作為x,y的二元函數(shù)在R2上連續(xù)。6．1．4 二元函數(shù)的連續(xù)性定義3：設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域為D,P0(x0,y0)為D的聚點, lim(x,y)174。248。x+y247。247。0(xyx+y22)x2230。(0,0)lim(x+y)sin1xcos=0；（無窮小乘有界函數(shù)仍為無窮?。?）設(shè)x=rcosq,y=rsinq，則limsin(x+y)x+y2244(x,y)174。+165。(0,0)lim(x+y)sin1xcos1y；（3）(x,y)174。2=2.注（3）：求二元函數(shù)的極限一般是通過換元或代數(shù)式變形等方法把問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題即多元問題‘一元化’。(0,2)(x,y)174。0(kxx)kx232=12k與k值有關(guān)[(1+t)a1）～at（t174。亦可：當(dāng)取路徑y(tǒng)=kx2x(k185。(0,0)y=kxlimxyx+y22=limkx2222x174。0當(dāng)點P(x,y)沿y軸趨于點(0, 0)時, lim(x,y)174。0 x+y=0提示：當(dāng)點P(x,y)沿x軸趨于點(0, 0)時, lim(x,y)174。0239。U(O,d)時，總有f(x,y)e，22o因此lim(x,y)174。P0 上述定義的極限也稱為二重極限. (x,y)=(x2+y2)sin證：因為|f(x,y)0|=|(x+y)sin221x2+y2, 求證(x,y)174。A((x,y)174。D199。1}(有界閉區(qū)域).二元函數(shù)的圖形: 點集{(x, y, z)|z=f(x, y),(x, y)206。D,或簡記為：u=f(x), x=(x1, x2, , xn)206。D)其中點集D稱為該函數(shù)的定義域, x, y稱為自變量, z稱為因變量.上述定義中,