專題四-圓錐曲線的綜合及應用問題-wenkub.com
2025-07-21 20:02 本頁面
【正文】 33時等號成立． 綜上所述 | AB |m a x＝ 2. ∴ 當 | AB |最大時， △ A O B 面積取最大值： S ＝12 | AB |m a x32＝32. 題型四 利用方程的思想解圓錐曲線中的存在性問題 別交于點 D， ，試探究是否存在這樣的直線？使得 EBDE 是等腰 直角三角形．若存在，指出這樣的直線共有幾 組 (無需求出直線的 方程 )；若不存在，請說明理由． 例 4 ： (201 1 年廣東揭陽二模 ) 已知：向量 OA ＝ ( 3 ， 0) ， O 為坐標原點，動點 M 滿足： | OM ＋ OA |＋ | OM － OA |＝ 4. (1) 求動點 M 的軌跡 C 的方程； (2) 已知直線 l 1 ， l 2 都過點 B (0,1) ，且 l 1 ⊥ l 2 ， l 1 ， l 2 與軌跡 C 分 圖 4－ 1 解析： 如圖 4 － 1.(1) 解法一 ： 設 A ′ ( － 3 ， 0) ， 則 | OM ＋ OA |＋ | OM － OA |＝ | OM － OA ? |＋ | OM － OA | ＝ | MA ? |＋ | MA |＝ 4 2 3 . ∴ 動點 M 的軌跡為以 A ， A ′ 為焦點，長軸長為 4 的橢圓． 由 c ＝ 3 ， 2 a ＝ 4 ? a ＝ 2 ， ∴ b ＝ a2－ c2＝ 1. ∴ 動點 M 的軌跡 C 的方程為x24＋ y2＝ 1. 解法二： 設點 M ( x ， y ) ， 則 OM ＋ OA ＝ ( x ＋ 3 ， y ) ， OM － OA ＝ ( x － 3 ， y ) ． ∵ | OM ＋ OA |＋ | OM － OA |＝ 4 ， ∴ ? x ＋ 3 ?2＋ y2＋ ? x － 3 ?2＋ y2＝ 42 3 . ∴ 點 M 的軌跡 C 是以 (177。y2 ＝ (2b)2－ 4(2a－ 1)＝ 4b2－ 8a＋ 4. ∵ M(a， b)在拋物線 y2＝ 2x上 ， ∴ b2＝ 2a. ∴ (y1－ y2)2＝ 4.∴ |y1－ y2|＝ 2. ∴ 當 M運動時 ， 弦長 |EF|為定值 2. 題型三 圓錐曲線中的最值問題 例 3 ： (20 1 1 年北京 ) 已知橢圓 G ：x24＋ y2＝ 1. 過點 ( m, 0) 作圓 x2＋ y2＝ 1 的切線 l 交橢圓 G 于 A 、 B 兩點． (1) 求橢圓 G 的焦點坐標和離心率； (2) 將 | AB |表示為 m 的函數(shù)，并求 | AB |的最大值． 解析： (1) 由已知得 a ＝ 2 ， b ＝ 1. 則 c ＝ a 2 － b 2 ＝ 3 . 故橢圓 G 的焦點坐標為 ( － 3 ， 0) ， ( 3 ， 0) ，離心率為 e ＝ca ＝32 . (2) 由題意知， | m |≥ 1. 當 m ＝ 1 時，切線 l 的方程 x ＝ 1 ，點 A ， B 的坐標分別為??????1 ，32，??????1 ，－32. 此時 | AB |＝ 3 . 當 m ＝－ 1 時，同理可得 | AB |＝ 3 . 當 | m | 1 時，設切線 l 的方程為 y ＝ k ( x － m ) ， 由????? y ＝ k ? x － m ? ，x24＋ y2＝ 1 ，消去 y 得 (1 ＋ 4 k2) x2－ 8 k2mx ＋ 4 k2m2－ 4 ＝ 0. 設 A 、 B 兩點的坐標分別為 ( x1， y1) ， ( x2， y2) ， 則 x1＋ x2＝8 k2m1 ＋ 4 k2 ， x 1 x 2 ＝4 k2m2－ 41 ＋ 4 k2 . 又由 l 與圓 x2＋ y2＝ 1 相切，得| km |k2＋ 1＝ 1 ，即 m2k2＝ k2＋ 1. 所以 | AB |＝ ? 1 ＋ k2? | x1－ x2| ＝ ? 1 ＋ k2?????????64 k4m2? 1 ＋ 4 k2?2 －4 ? 4 k2m2－ 4 ?1 ＋ 4 k2 ＝4 3 | m |m2＋ 3. 由于當 m ＝ 177。 PA 的范圍； ② 設直線為 y ＝ kx ＋ m ，通過 2AH ＝ MH HN ＋ HM PA ＝ ( － 1 － x0)( － 2 － x0) ＋ y20＝14x20＋ 3 x0＋ 5. 由于 P ( x0， y0) 在橢圓上， ∴ － 2 ≤ x0≤ 2. 可知 f ( x0) ＝14x20＋ 3 x0＋ 5 在區(qū)間 [ － 2, 2 ] 上單調(diào)遞增， ∴ 當 x0＝－ 2 時， f ( x0) 取最小值為 0 ； 當 x
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