【正文】 100=*x96+ * x105 +*x114 + *x123 +*x132+**z。 x111+x112+x113+x114=*x56+ * x65 +*x74 + *x83 +*x92+*x101z。 x71+x72+x73+x74+ x75+ x76=*x16+*x25+*x34+ *x43 + *x52+*x61z。 21 x31 + x32 + x33 + x34 + x35 + x36 =* x12 + *x21 z。 M=*x56+* x65 +*x74 + *x83 +*x92+*x101z。 x71+x72+x73+x74=*x16+*x25+*x34+ *x43 + *x52+*x61z。 x31 + x32 + x33 + x34 + x35 + x36 =* x12 + *x21z。 100=*x65+*x83+*x92+*x101z。 x71+x72+x73=*x25+*x43+*x52+*x61z。 x31+x32+x33+x35=*x12+*x21z。 ； ，有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義； ,結(jié)果更加直觀看出 . 模型的缺點(diǎn)： ,與現(xiàn)實(shí)有一定的差異 。 根據(jù)如下公式可計(jì)算出投資三種精品課程相當(dāng)于定期存款的年利率如表四所示。 當(dāng) n≤ 7 時(shí)： 首先，將 A 萬(wàn)元的資金存 (n1)個(gè)月，到期時(shí)的本利和為： A [1+ (n1)ph/12] 然后再將 A [1+ (n1)ph/12]萬(wàn)元的資金用于投資 m 年期的精品課程券，到期時(shí)的本利和為： A [1+ (n1)ph/12] (1+m*pm) 然后再將 A [1 + (n1)ph/12] (1+m*pm)萬(wàn)元的資金存入 6個(gè)月期，到期時(shí)的本利和為： A [1+ (n1)ph/12] (1+m*pm) (1+pb/2) 最后，將 A [1+ (n1)ph/12] (1+m*pm) (1+pb/2) 萬(wàn)元的資金存為 3個(gè)月，到期時(shí)的本利和 為 A [1+ (n1)ph/12] (1+m*pm) (1+pb/2) [1+(7n)ph/12 ] = A(1+m*pm) (1+pb/2) [1+ ph/2 +(n1)(7n)ph2/12 2] ① 當(dāng) n＞ 7 時(shí)： 首先，將 A 萬(wàn)元的資金存為 6個(gè)月，到期時(shí)的本利和為： A (1 + pb/2)然后再將 A (1+ pb/2)萬(wàn)元的資金存為（ n7）個(gè)月活期，到期時(shí)的本利和為： A (1+ pb/2)[1+(n7)ph/12] 然后再用 A (1 + pb/2)[1+(n7)ph/12]萬(wàn)元的資金 投資 m 年期的精品課程，到期時(shí)的本利和為： A (1 + pb/2)[1+(n7)ph/12]（ 1+mpm） 最后，將 A (1 + pb/2)[1+(n7)ph/12]（ 1+mpm）萬(wàn)元的資金存為 3個(gè)月活期，到期時(shí)的本利和為 A [1 + (n7)ph/12] (1+m*pm) (1+pb/2) [1+(13n)ph/12 ] = A(1+m*pm)(1+pb/2) [1+ph/2+(n7)(13n)ph2/12]②在①式中， (n1)(7n)ph2/12 ≤ 9?ph2/122=ph2/16 (1+pb/2) 在②式中， (n7)(13n)ph2/12 2≤ 9?ph2/122=ph2/16 (1+pb/2) 因此，無(wú)論是 n≤ 7 還是 n7 最后的投資總收益近似為： A(1+m*pm) (1+pb/2) [1+ ph/2] 與 n 無(wú)關(guān)。 由于投資 一 年期的精品課程，從時(shí)間上算一般要占用 二 年時(shí)間（這里包括存 3個(gè)月或 6個(gè)月 ,等待投入精品課程的時(shí)間；也包括精品課程期以后 3月 期或半年期等待至本年終的時(shí)間），因此我們可以將 一年 精品課程的投資方式看成是 考研二年 的投資方式。( 1 5 ) ( 1 3 ) ( 1 2 )x r x r x r x r zx x x x r x r x r x r zx x x x r x r x r x r zx x x r x r x r? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?81 110 1 55 5 73 3 82 2 91 165 5 83 3 92 2 10 1 1( 1 ) 。( 1 3 ) ( 1 2 ) ( 1 ) 。 11 12 13 1521 22 23 25 11 131 32 33 35 12 2 21 141 42 43 45 13 3 22 2 31 151 52 53 55 23 3 32 2 41 161 62 63 65。 x81+x82+x83=*x35+*x53+*x62+*x71z。 x41+x42+x43+x45=*x13+*x22+*x31z。所以， 我們 6 可以在以下的討論中只對(duì)優(yōu)化的投資方案進(jìn)行討論。 （ 2）一定數(shù)額的資金 H ，在投資期限為 5年內(nèi)的最佳投資方案 ①若投資期限為 3個(gè)月，只有 1種投資方案； ②若投資期限為 6個(gè)月，投資方案有兩種： Ⅰ一次性投資 6個(gè)月期限的項(xiàng)目 ； Ⅱ先投資 3個(gè)月期限的項(xiàng)目，回收資金后再投資 3個(gè)月期限的項(xiàng)目。（ m ， n =3 個(gè)月， 6個(gè)月， 1， 2， 3， 5） 令定期為 m 年的投資年利率為 mR ，定期為 n 年投資年利率為 nR ，則一定數(shù)額的資金 H 先投資 m 年再投資 n 年， m +n 年后的本利和為 (1 * )(1 * )mnH m R n R??； 5 先投資 n 年再投資 m 年， m +n 年后本利和為 (1 * )(1 * )nmH n R m R??； 由乘法交換率可知 ( 1 * ) ( 1 * ) ( 1 * ) ( 1 * ) 。類似的道理，也可將三年期和五年期精品課程的投資方式分別看成是四年和六年定期 考研 的投資方式。十年的投資情況如下表所示。 表 1：科研基金年平均收益率（ %） 種類 3 個(gè)月 6個(gè)月 一年 二年 三年 五年 收益率（ %） 表 2：教學(xué)基金年平均收益率（ %） 種類 一年 三年 五年 收益率（ %） 二 模型假設(shè) 1 行 家對(duì)于投資帶來收益的估算是可靠的和科學(xué)的； 2 每年學(xué)校的獎(jiǎng)金數(shù)額保持不變； 3 收益的資金可以重 復(fù)作為投資基金； 4 各種投資方式的收益率在 n 年內(nèi)不會(huì)變化； 5 投入的資金在使用期滿后能確保收回； 6 投資方式的選擇不受收益率以外的其他因素影響； 3 7 基金不會(huì)被用于教學(xué)和科研外的其他方面； 8 基金是在計(jì)劃期第一年的 1 月 1 日到位，且 n 年內(nèi)基金數(shù)額不再追加。假設(shè)投入到教學(xué)中，用于建設(shè)精品課程，分 1 年， 3年， 5年建設(shè)精品課程（建設(shè)期滿投入全部收回），行家估算，這筆基金給學(xué)校帶來的平均收益見表 2。因?yàn)檎褪聵I(yè)單位的出資者不要求投資回報(bào)和投資收回，但要求按法律規(guī)定或出資者的意愿把資金用在指定的用途上，而形成了基金。這個(gè)模型的解決 使 我們更清楚了最優(yōu)化模型的解決方法及 LINGO 軟件求解線性規(guī)劃 問題 的方法。在這種情況下 ,一般地投資 一 年期的精品課程，加上 3個(gè)月或 6個(gè)月的等待（由于投入的時(shí)間不定），需要占用三年時(shí)間，從而可將投資 一 年期的精品課程的投資方式看成相當(dāng)于 二 年期的 考研投資 方式，并計(jì)算出相應(yīng)的年利率。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展的背景下，人們?cè)絹碓角逍训匾庾R(shí)到：一個(gè)合理的數(shù)學(xué)應(yīng)用模型對(duì)于現(xiàn)今生產(chǎn)、投資、規(guī)劃等實(shí)際應(yīng)用項(xiàng)目的重要性 ,我們常會(huì)遇到一筆資金有很多不同的投資機(jī)會(huì)，面對(duì)這些機(jī)會(huì)，我們可以選擇不同的投資方式，從而使 這筆資金在一段時(shí)期內(nèi)達(dá)到的收益最大。 本文涉及的問題是對(duì)某校的一筆基金，每年都要用一部分本息獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀師生，每年的獎(jiǎng)金額大致相同，在可以將其投入科研和投入精品課程的兩種投資機(jī)會(huì)下（每種投資機(jī)會(huì)下又有多種方式），怎樣安排一個(gè) n 年的投資計(jì)劃使其每年可用于發(fā)獎(jiǎng)勵(lì)的獎(jiǎng)金額盡可能多，而在 n 年后仍保留原有的基金數(shù)額不變 ,兩種不同的情形討論各自最優(yōu)的 投資 方案，雖然情形不同，但最終遵循著同一個(gè)準(zhǔn)則：在保證每年的基金 M不變的情況下，最終實(shí)現(xiàn)每年發(fā)放獎(jiǎng)金數(shù)目最多 ， 這一目標(biāo) 在這個(gè)問題的解決 過程中，我們首先考慮只投入科研不 投入精品課程的方式。以此類推 ,第二問是第一種情況的一種拓廣，我們也建立了其一般的線性規(guī)劃模型，并對(duì) M=100， n=10 給出了最好的投資方案（對(duì)于每年發(fā)放的獎(jiǎng)金額相同）：每年發(fā)放的獎(jiǎng)金額為 元，第一年投資一年期存款 ，二年期存款 ，三年期存款 ，四年期存款（即購(gòu)買三年期國(guó)庫(kù)券并存了一段時(shí)間的活期或半年期） 萬(wàn)元 。 關(guān)鍵字：線性規(guī)劃模型， Lingo軟件，投資計(jì)劃 ,投資方案 2 一 問題重述 基金有廣義和狹義之分，從廣義上說，基金是機(jī)構(gòu)投資者的統(tǒng)稱，包括信托投資基金、單位信托基金、公積金、保險(xiǎn)基金、退休基金，各種基金會(huì)的基金。而我們要研究的是學(xué)?；鹱顑?yōu)化分配問題。 ?；饡?huì)計(jì)劃在 n 年內(nèi)每年用部分收益獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀師生，要求每年的獎(jiǎng)勵(lì)大致相同，且在 n年末仍保留原有基金數(shù)額。我們 把這一年作為問題討論的第一年； 9從第二年開始每年的 1月 1日 發(fā)獎(jiǎng)金一次， 且第（ n+1）年的 1 月 11 日發(fā)第 n年的獎(jiǎng)金（第一年年初不發(fā)） ； 10 基金的每種使用方式是相互獨(dú)立的，科研基金和教學(xué)基金不能提前支取。例如表中 x11 表示第一年對(duì)一年期 考研 的投資額，一年后其本利和為 *x11； x12 表示第二年對(duì)二年期 考研 的投資額，二年后其本利和為 *x12，其余類似。 問題三的分析 : 校方要求學(xué)校在基金到位后的 14 年（ 2019 年）要舉行建校 100 周年校慶，基金會(huì)希望這一年的獎(jiǎng)金比其他年度多 30%,即在本 問題是對(duì)第 15年的獎(jiǎng)金數(shù)額有一個(gè)改變，這個(gè)問題比較好理解 ,校方?jīng)]有規(guī)定是只投入到科研還是投入到精品課程中 ,所以可以在前兩個(gè)問題的模型中改變第 15 年的獎(jiǎng)金 ,使獎(jiǎng)金增加 倍 ,分別代入兩個(gè)模型就能求得相應(yīng)的投資方式 。m n n mH m R n R H n R m R? ? ? ? ? 也即投資 m +n 年后的本利和與采用不同投資方式的先后順序無(wú)關(guān)。 由 3 個(gè)月期限的年收益率為 ，可得 3 個(gè)月的收益率為 ； 由 6 個(gè)月期限的年收益率為 ，可得 6 個(gè)月的收益率為 ； 方案Ⅰ的收益為 0. 01 51 2(1 ) 1. 00 75 6 *2HH?? 方案Ⅱ的收益為 0. 01 36 8(1 ) ^ 2 1. 00 68 5 *4?? 比較可知，方案Ⅰ的收益較高。 利用所給的條件及各變量之間的關(guān)系可以得到每年的獎(jiǎng)金額與年數(shù) n 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，最后帶入數(shù)據(jù) 由此可得線性方程為 : 代入數(shù)據(jù)得 : x11+x12+x13+x15=100。 x51+x52+x53+x55=*x23+*x32+*x41z。 x91+x92=*x45+*x63+*x72+*x81z。( 1 ) 。x x x x Mx x x x x r zx x x x x r x r zx x x x x r x r x r zx x x x x r x r x r zx x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?15 5 33 3 42 2 51 171 72 73 25 5 43 3 52 2 61 181 82 83 35 5 53 3 62 2 71 191 92 45 5 63 3 72 2( 1 5 ) ( 1 3 ) ( 1 2 ) ( 1 ) 。( 1 5 ) ( 1 3 ) ( 1 2 ) ( 1 ) 。類似的道理，也可將三年期和五年 期精品課程的投資方式分別看 9 成是四年和六年定期存款的投資方式。 證畢 關(guān)于上述結(jié)論的說明：對(duì)于 1月 1日投資的 m年期精品課程，則不需要等待投入，而是 立即投資，資金占用時(shí)間為 m年，因而 m+1的投資收益會(huì)高于 A(1+m*pm) (1+pb/2) [1 + ph/2]； 同樣對(duì)于 7月 1日投入的 m 年期精品課程 ，整個(gè)投資過 程中可能會(huì)出現(xiàn)兩次半年期存款方式， 因而最后的投資收益也會(huì)高于 A(1+m*pm) (1+pb/2) [1 + ph/2]。相對(duì)利率 = A ( 1 + m * p m ) ( 1 + p b /2 ) [ 1 + p h /2 ] AA ( m + 1 ) 表 21:為 投資精品課程原收益率與相對(duì)收益率 表 21 表 22:投入科研與精品課程的收益率 表 22 表 23： 投資期限對(duì)應(yīng)的收益率符號(hào) 表 23 看表里就可以選擇最優(yōu)的不同年的收益率，綜合最優(yōu)的得到最好的收益率 p 相似第一問得到線性方程為 : x11 ? x12 ? x1