【正文】 ,∴ m2m+? =m2,解得 m=? . ∴ 拋物線 C39。2=Q39。=m. ∵ 點 F? , 11,2??????過點 F作 FH⊥ OQ39。F的對稱點為 K,射線 FK與拋物線 C39。=OQ39。CF=? 4? =x2+6x,? (8分 ) 則 S=S△ OAD+S△ ACD+S△ BCD=4+(2x4)+(x2+6x)=x2+8x. 所以 S關(guān)于 x的函數(shù)表達式為 S=x2+8x(2x6).? (10分 ) 因為 S=(x4)2+16, 所以當 x=4時 ,四邊形 OACB的面積 S取最大值 ,最大值為 16.(12分 ) 12 1212 1221 32 xx????????6.(2022天津 ,25,10分 )已知拋物線 C:y=x22x+1的頂點為 P,與 y軸的交點為 Q,點 F? . (1)求點 P,Q的坐標 。 A2是解題的關(guān)鍵 . 5.(2022安徽 ,22,12分 )如圖 ,二次函數(shù) y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點 A(2,4)與 B(6,0). (1)求 a,b的值 。在第二象限及拋物線的頂點坐標 ,可求得 t的取值范圍 ,由勾股定理可得 P39。取得最小值 , 把 t=? 代入 t=m22m3,得 ? =m22m3, 解得 m1=? ,m2=? , 由 m0,可知 m=? 不符合題意 , 212t???????1541212 121 42? 1 42?2∴ m=? . 1 42?思路分析 (1)把 A點坐標代入拋物線解析式可求得 b的值 ,進而用配方法可求得拋物線的頂點 坐標 . (2)①由對稱可表示出 P39。H2+AH2,即 P39。 當點 A和 H重合時 ,AH=0,P39。H2=t2,AH2=(m+1)2=m22m+1=t+4, 當點 A和 H不重合時 ,在 Rt△ P39。落在拋物線 y=x22x3上 , ∴ t=(m)22(m)3,即 t=m22m+3, ∴ m22m3=m22m+3,解得 m1=? ,m2=? . 故 m的值為 ? 或 ? . ②由題意知 ,P39。落在第二象限內(nèi) ,P39。 (2)P(m,t)為拋物線上的一個動點 ,P關(guān)于原點的對稱點為 P39。(2)根據(jù)設(shè)計費求 出面積 ,代入解析式能求出符合題意的邊長 ,所以答案是肯定的 。第 (2)問要用“鉛垂法”由 PQ的長得出 PD的長 ,設(shè)出點 P的坐標 ,根據(jù) PD =4,分類討論列出方程 ,解方程求出點 P的坐標 。. ∴ PD=? PQ=4.? (5分 ) 設(shè) P(m,m2+6m5),則 D(m,m5). 分兩種情況討論如下 : 0 25 30 ,? ? ?????? 1, ???? ???2 22(i)當點 P在直線 BC上方時 , PD=m2+6m5(m5)=m2+5m=4. ∴ m1=1(舍去 ),m2=4.? (7分 ) (ii)當點 P在直線 BC下方時 , PD=m5(m2+6m5)=m25m=4. ∴ m3=? ,m4=? . 綜上 ,點 P的橫坐標為 4或 ? 或 ? .? (9分 ) ② M? 或 ? .? (11分 ) 【提示】作 AC的垂直平分線 ,交 BC于點 M1,連接 AM1,過點 A作 AN⊥ BC于點 N,將△ ANM1沿 AN翻 折 ,得到△ ANM2,點 M1,M2的坐標即為所求 . 5 4 12?5 4 12?5 4 12?5 4 12?1 3 7,66???????2 3 7, ?思路分析 (1)求出直線 y=x5與坐標軸的兩個交點 B,C的坐標 ,用待定系數(shù)法求出拋物線的解 析式 。 (2)過點 A的直線交直線 BC于點 M. ①當 AM⊥ BC時 ,過拋物線上一動點 P(不與點 B,C重合 ),作直線 AM的平行線交直線 BC于點 Q,若 以點 A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形 ,求點 P的橫坐標 。每減少 1盆 ,盆景的平均每盆利潤增加 2元 。N=BM,∴ ? ? =? m,解得 m=0(舍去 )或 m=? . 3522433mm???????454 5 45, 3 ?? 4 5 45, ??452 ?35 258∴ P3? . ? 圖 c 2 5 1 1,8 3 2??????思路分析 (1)C點代入一次函數(shù)解析式 ,確定 A點坐標 ,再把 A、 B點坐標代入拋物線解析式即 可得解 。=∠ ND39。M⊥ x軸 ,交 BD于點 M,過點 P39。? . ∴ P1? ,P2? 。MD39。=∠ ND39。=? . ①當點 P39。=∠ OAC,當點 P的對應(yīng)點 P39。 (2)當△ BDP為等腰直角三角形時 ,求線段 PD的長 。 (2)①過點 D作 DE⊥ x軸于點 E,根據(jù)△ AOC≌ △ BED得出 BE=OA=1,OC=DE=2,進而得出 D點坐 標 。若不存在 ,請說明理由 . ? 132解析 (1)令 y=? x2+? x+2=0, 解得 x1=1,x2=4, 所以點 A的坐標為 (1,0),點 B的坐標為 (4,0), 當 x=0時 ,y=2,所以點 C的坐標為 (0,2). (2)①過點 D作 DE⊥ x軸于點 E, ? ∵ 將△ ABC繞 AB中點 M旋轉(zhuǎn) 180176。 (2)將△ ABC繞 AB中點 M旋轉(zhuǎn) 180176。根據(jù)拋物線所經(jīng)過的點及對 稱軸的位置 ,可判斷③正確 ,從而得結(jié)論 . 解后反思 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征 ,二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系 ,二次函數(shù) 與一元二次方程的關(guān)系 ,不等式的性質(zhì)等知識 ,a的符號決定拋物線的開口方向 ,? 的符號決 定拋物線對稱軸的位置 ,c的值決定了拋物線與 y軸的交點坐標 . 2ba2.(2022甘肅蘭州 ,5,4分 )下表是一組二次函數(shù) y=x2+3x5的自變量 x與函數(shù)值 y的對應(yīng)值 : 那么方程 x2+3x5=0的一個近似根是 ? ( ) x 1 y 1 答案 C 由表格中的數(shù)據(jù)可以看出最接近于 0的數(shù)是 ,它對應(yīng)的 x的值是 ,故方程 x2+3x 5=0的一個近似根是 ,故選 C. 3.(2022江蘇蘇州 ,8,3分 )若二次函數(shù) y=x2+bx的圖象的對稱軸是經(jīng)過點 (2,0)且平行于 y軸的直線 , 則關(guān)于 x的方程 x2+bx=5的解為 ? ( ) =0,x2=4 =1,x2=5 =1,x2=5 =1,x2=5 答案 D 設(shè)二次函數(shù) y=x2+bx的圖象與 x軸交點的橫坐標為 x x2,則 x1+x2=b,由題意知函數(shù)圖 象的對稱軸為直線 x=2,則 ? =2,所以 x1+x2=4,得 b= x24x5=0,解得 x1=1,x2=5,故 選 D. 12xx?4.(2022寧夏 ,10,3分 )若二次函數(shù) y=x22x+m的圖象與 x軸有兩個交點 ,則 m的取值范圍是 . 答案 m1 解析 當二次函數(shù) y=x22x+m的圖象與 x軸有兩個交點時 ,方程 x22x+m=0有兩個不相等的實數(shù) 根 ,所以 Δ=44m0,解得 m m的取值范圍是 m1. 5.(2022湖北黃岡 ,22,8分 )已知直線 l:y=kx+1與拋物線 y=x24x. (1)求證 :直線 l與該拋物線總有兩個交點 。 (3)在同一坐標系中畫出直線 y=x+1,并寫出當 x在什么范圍內(nèi)時 ,一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的 值 . ? 解析 (1)∵ 二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象過 A(2,0),B(0,1)和 C(4,5)三點 , ∴ ? ? (2分 ) ∴ a=? ,b=? ,c=1, ∴ 二次函數(shù)的解析式為 y=? x2? x1.? (4分 ) (2)當 y=0時 ,有 ? x2? x1=0,? (5分 ) ∴ x1=2,x2=1,? (6分 ) ∴ 點 D的坐標為 (1,0).? (7分 ) (3)圖象如圖 .? (8分 ) 4 2 0 ,1,1 6 4 5 ,a b cca b c? ? ??????? ? ? ??1212 112112? 所求的 x的取值范圍為 1x4.? (10分 ) 考點二 二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系 1.(2022天津 ,12,3分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點 (1,0),(0,3),其對稱軸在 y 軸右側(cè) .有下列結(jié)論 : ①拋物線經(jīng)過點 (1,0)。 由拋物線的對稱性可知 ,點 (3,y2)關(guān)于對稱軸的對稱點是 (5,y2),當 x1時 ,y隨 x的增大而增大 ,因 為 45,所以 y1y2,③錯誤 。 ⑤ am2+bm+a≥ 0. 其中所有正確的結(jié)論是 . ? ,0ca???????答案 ②④⑤ 解析 因為圖象開口向上 ,所以 a0。當 a+1≤ 1,即 a≤ 0時 ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而減小 ,其最小值為 (a+1)22(a+1)+1=a2,則 a2=1,解得 a=1或 a=1(舍去 ).當 0a 1時 ,函數(shù) y=x22x+1在 x=1處取得最小值 ,最小值為 0,不合題意 .綜上 ,a的值為 1或 2,故選 D. 3.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,11,3分 )已知一次函數(shù) y1=4x,二次函數(shù) y2=2x2+ ,對于 x的同一 個值 ,這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值為 y1與 y2,則下列關(guān)系正確的是 ? ( ) y2 ≥ y2 y2 ≤ y2 答案 D y2y1=2x24x+2=2(x1)2,無論 x取何值 ,(x1)2≥ 0,∴ y2≥ y1,故選 D. 一題多解 根據(jù)函數(shù)圖象可以看出對于同一個 x的值 ,都有 y1≤ y2. ? 4.(2022天津 ,12,3分 )已知二次函數(shù) y=(xh)2+1(h為常數(shù) ),在自變量 x的值滿足 1≤ x≤ 3的情況下 , 與其對應(yīng)的函數(shù)值 y的最小值為 5,則 h的值為 ? ( ) 5 5 3 3 答案 B 當 h≥ 3時 ,二次函數(shù)在 x=3處取最小值 ,此時 (3h)2+1=5,解得 h1=5,h2=1(舍去 ). 當 1≤ h≤ 3時 ,二次函數(shù)在 x=h處取最小值 1,不符合題意 . 當 h≤ 1時 ,二次函數(shù)在 x=1處取最小值 ,此時 (1h)2+1=5,解得 h1=1,h2=3(舍去 ). ∴ h=1或 B. 5.(2022新疆烏魯木齊 ,15,4分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx+c過點 (1,0),且對稱軸為直線 x=1,有下列結(jié) 論 : ① abc0。的坐標為 ? ,B″的坐標為 ? , 32 258258 8 59,28???????5 4 1, ?設(shè)直線 AB″的解析式為 y=kx+b(k≠ 0),∴ ? 解得 ? ∴ y=? x? , 當 y=? 時 ,x=? , ? ? =? . ∴ t=? ,拋物線應(yīng)該向左平移 . ? 0,5 4 1 ,28kbkb? ? ???? ? ? ???41,2841,28kb? ?????? ????41282589382321541考點一 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) B組 20222022年 全國 中考題組 1.(2022四川成都 ,10,3分 )關(guān)于二次函數(shù) y=2x2+4x1,下列說法正確的是 ? ( ) y軸的交點坐標為 (0,1) y軸的右側(cè) x0時 ,y的值隨 x值的增大而減小 3 答案 D 因為 y=2x2+4x1=2(x+1)23,所以 ,當 x=0時 ,y=1,選項 A錯誤 。的對稱點 B″,連接 AB″, ∵ AB與 CP(C39。若不存在 ,請說明理由 . 3250 2t????????解析 (1)∵ 拋物線過 A、 B兩點 , ∴ ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2? x2. 解析式轉(zhuǎn)化為頂點式為 y=? ? ? , ∴ 頂點 C的坐標為 ? . (2)由題意知點 P在 x軸的下方 ,設(shè)拋物線和 y軸的交點為 D,則 D(0,2),連接 AD、 P與點 D 重合時 ,AD=? =? ,BD=? =2? ,AB=5, 故 AD2+BD2=AB2,即 ∠ ADB=90176。、 P39。(2)求出 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式 ,分類討論 ,求 出 y的最大值 。(2x+400) =2x2+520x24 000 =2(x130)2+9 800≤ 9 800. 當 x=130時 ,y取得最大值 9 800. ∴ 售價為每件 130元時 ,當月的利潤最大 ,最大利潤是 9 800元 . 解法二 :依題意 ,可得 y=(x60)(3)利用點 G的坐標表示正方形的邊長 ,然后由正方形的鄰邊相等構(gòu)造方 程求解 . 解題關(guān)鍵 (2)(3)問的關(guān)鍵是利用點的坐標表示相關(guān)線段 ,然后根據(jù)線段的相等關(guān)系構(gòu)建方 程 . 5.(2022梅州